横から失礼します。
ざっと見ただけですが、Context Search X のバグなんじゃないかと思います。
Context Search X は、Firefox 本体で管理されている検索エンジンをベースに、それに機能を追加する形で動作しているようです。
ご質問にあるように、Context Search X の [検索バーの管理] 画面にある [検索エンジンを追加...] は、クリックしても無反応です。
しかし、Firefox 本体の検索設定の画面下にある [検索エンジンを追加...] のリンクをクリックすると、普通に "検索 :: Add-ons for Firefox" のページが開きます。
Context Search X のこの部分が、Firefox 本体とうまく連携できていないように見えます。
で、検索エンジンの追加をおこなうことが目的なら、Firefox 本体の機能で検索エンジンを追加すればいいと思います。
もともと、Context Search X は Firefox のこの部分を読み込んでいますので、Firefox 本体で追加すれば、Context Search X の [検索バーの管理] 画面にも同じものが追加されるはずです。
(補足)
基本的に、Firefox 本体でできることは、アドオン経由ではなく Firefox 本体で実行したほうが、余計なプロセスを挟まない分だけ、安定した動作を期待できます。
Firefox 本体ではできないことは、アドオンの力を借りて上手に運用することで、実現できることもあります。
【参考トピック】
Firefox 36.0 日本語版では検索インターフェイスが新しくなっています。次のトピックも参考にしてみてください。
(参考)・検索バーのドロップダウンの自動表示について
viewtopic.php?t=15337