いまある情報ではストレートな解決策を示せるわけではないのですが、リプライがないようなので......。
【重要】お使いのプロファイルのバックアップを、確実にとっておくことをお勧めします。
文面から症状を推測すると、プロファイルがすでに何かしらの不具合を抱え込んでいる可能性が大きそうですが、いまより致命的な障害にすすんでしまう前に、よりマシな状態を確保しておくという意味で提案させていただきます。
ニコタン さんが書きました:
常に数千件単位でダウンロード中になっている（実際の１日分は全部でも数百件程度のはず）
ワンクリックの操作でも、「応答なし」になることがある
「応答なし」状態が多い
「応答なし」でも、ダウンロード数のカウンターは少しずつ変わっている
この文面の印象では、Thunderbird の動作が恒常的にビジー状態に陥っている、という話に見えます。
完全にハングアップしているわけではないものの、何か大きなボトルネックがあって、常に処理が一杯いっぱいの状態といいましょうか。
どこかをクリックするだけの操作でも「応答なし」になるというのは、けっこう根が深い気がします。
お使いのアカウントは、POP ですか、IMAP ですか。これによっては、着眼点が変わってくることがあります。一例としていえば、POP サーバーが飽和してしまったようなとき、本件のような不正常な受信状態が現われるケースも否定できませんから...。
【正確な現状の把握と点検】（1）
ニコタン さんが書きました:
常に数千件単位でダウンロード中になっている（実際の１日分は全部でも数百件程度のはず）
「常に数千件単位でダウンロード中になっている」というのは、非常に短い間隔で、頻繁に受信動作がおこなわれているということでしょうか。
[アカウント設定] -> [<アカウント名>] -> [サーバー設定] -> [サーバー設定] で、[新着メッセージがないか起動時に確認する] にチェックが付いていたら、いったん外してみてください。同様に、[新着メッセージがないか <N> 分ごとに確認する] にチェックが付いていたら、これも外してみてください。
それで Thunderbird を再起動して、受信は手動操作だけにしたとき、動作に変化があるかを点検してください。
合わせて、[イベントログの管理] を開いて、どんな状況が記録されているか確認してみてください。受信に関するログ、グローバル検索の索引設定に関するログといった、実際におこなわれている動作を判別できるかもしれません。
（2）
ニコタン さんが書きました:
メールプロバイダ：ヤフー、マイクロソフト、他（インターネットのプロバイダーが発行したもの）
複数のアカウントをお持ちのようですが、個々の [受信トレイ] に対し、右クリックから [プロパティ] を選ぶと [フォルダーのプロパティ] ダイアログが開きます。この [一般情報] パネルにある [メッセージ数] と [ディスク上のサイズ] を確認してください。
とくに、[ディスク上のサイズ] が数ギガバイトを超えている場合、 [受信トレイ] の肥大化が問題の一因になっている可能性が高くなります。
（3）
ニコタン さんが書きました:
「グローバル検索と索引データベースを有効にする」のチェックを外したところ高速になった
数日で遅くなったので、索引データベースを削除したら高速になった
しかし、また数日で現在の状況になる
グローバル検索が Thunderbird の動作を重くする可能性はありますが、多くの場合それは索引データベースの肥大化または破損が原因になっています。
そして、索引データベースの肥大化または破損の遠因が、[受信トレイ] など個々のフォルダーの肥大化または破損にある可能性は十分考えらます。
（4）
ニコタン さんが書きました:
最下段のバーに表示されるメッセージから推測すると、
グローバル検索と索引データベースが有効になっているかのような動作に見える
どのようなメッセージが表示されるのでしょうか。できれば具体的かつ正確な文面を教えてください。
通常、[オプション] -> [詳細] -> [一般] -> [高度な設定] にある [グローバル検索と索引データベースを有効にする] のチェックを外すと、機能そのものは停止されます。
すでに作成済みの索引データベース（global-messages-db.sqlite）が削除されたり、サイズが減ることはありませんが、機能が停止されていれば、索引データベースが読み込まれることも、中身が追加・更新されることもないはずです。
（5）
ニコタン さんが書きました:
現在は、アドオンを無効にして、セーフモードで再起動したところ、高速に戻っています。
普通、アドオン（拡張機能）を無効にして問題が解消するというのは、原因がアドオンにあることを意味します。
他の要因との兼ね合いで考えるなら、グローバル検索の機能に作用するようなアドオンを使っていて、その不具合が（3）や（4）を誘発していたと考えれば、ひとまず辻褄は合いそうですが、いまの情報だけでは断定できません。
【より確実な比較テストと今後の対策】いまお使いのプロファイルが複合的に問題を抱え込んでいると、個々の原因をひとつずつ特定していくことは難しくなりますし、小手先の対処では抜本的な問題解決につながらないことが多くなります。
このような場合、テスト用に新しいプロファイルを追加作成し、既存のプロファイルからどのようなデータも持ち込まず、アカウントを一から設定して、まっさらな状態で動作を確認することが有効でしょう。
そこで問題が解消できているなら、既存のプロファイルから必要最小限のデータ（送受信済みのメール、アドレス帳）をひとつずつ移行することで、安定したプロファイルに作り直すことができるかと思います。仮に問題が再発しても、直前に移行したデータに原因があることに当たりがつけられますので、トラブルシューティングにも役立つと思います。
確かに手間はかかりますが、更新、更新で引き継できたプロファイルによくある使われなくなった古いデータファイルを一掃することもでき、現在のバージョン（60.6.1）に対してネイティブなプロファイルにすることで、その後の安定性の向上は期待できると思います。
（いま労力を割いてでも先々のトラブルの芽を摘んでおくか、いま楽するため先々に問題を起こすかもしれないトラブルの芽を残しておくか、の違いとも言えるでしょうか。）
【注意点】
移行するデータのうち、メールデータが肥大化している場合は取り扱いを慎重にする必要が出てくると思います。
正確な現状が分からない段階では具体的なアドバイスもできませんが、一手間かける場面があるかもしれない点は、承知しておいたほうがいいと思います。
とりあえず以上です。役に立たない話になっていたらすみません。
（おことわり）
現在、健康上の制約により不定期な書き込みしかできなくなっています。すぐに応答できない場面がかなり多くなりますことを、ご容赦ください。
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