タイトル通りです（バージョン63.0　Mac OS10.12.6）。
更新後にFirefoxを開こうとしたところ、「予期しない理由で終了しました」と表示され、何度試しても変わりません。
いったいどうすれば良いのでしょうか。

「予期しない理由で終了しました」というのはMacOSが出しているものなので、Macユーザーではない私には具体的なアドバイスはできません。
ちょっと調べてみた感じだと、ライブラリに入れたサードパーティのアプリが問題を起こしていたりとか、アプリのインストール先やユーザーデータの場所だったりとかあるようです。
とりあえず、Firefoxをいったんアンインストールして新規にインストールしても解決しないなら、Mac関連のフォーラムなどで相談すべきでしょう。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:60.0) Gecko/20100101 Firefox/60.0

レスありがとうございます。
その後、たまたま古いバージョンのFirefoxが残っているのを発見、セーフモードで開くことはできたのでリフレッシュ。
それでも新しい方は開かない、ということはプロファイルの破損ではないのかなと判断、
新規にFirefoxをインストールした結果、無事に開くことができました。

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Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10_12_6) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/68.0.3440.106 Safari/537.36 OPR/55.0.2994.44

インストールしなおしたからといって、プロファイルが修復されることはありません。
旧バージョンで開けたということは、プロファイルに問題はありません。

新バージョンを入れなおすことで開けるようになったということであれば、更新が何らかの事情でうまくいってなかった、失敗していたということだと思います。

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