56.0.1にアップデートしたタイミングからだと思うのですが、
Firefox ウィンドウ上でＩＭＥをＯＮにすると、
即座にブラウザがクラッシュします。（窓が自主的に閉鎖します）
気付いたのは２～３日前です。そのちょっと前にブラウザが更新されました、
というメッセージが出たのを覚えています。
それ以外に何かのソフトその他をインストールした覚えはありません。

ＯＳ　：ＷＩＮ８．１
ＩＭＥ：ＡＴＯＫ２００８

ＭＳ－ＩＭＥ（２０１２）の場合はブラウザは落ちません。

他ではそういう現象は起きてないですか？

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Mozilla/5.0 (Windows NT 6.3; Win64; x64; rv:56.0) Gecko/20100101 Firefox/56.0

明らかに、ATOK に問題があります。
2008 という旧式の Version なので、
Firefox の（v57）メジャーアップデート直前の仕様（e10s：マルチプロセス化）に準拠していないのでしょう。
ジャストシステム社への問い合わせが必要です。
サポート切れを名目に、最新版の購入を要求されると思われますが・・・

この際、「Google 日本語入力」への切り替えは如何でしょうか？
ATOK の資産を引き継ぐことが出来ます。
インストールと基本的な設定 - 日本語入力 ヘルプ
基本的な使い方 - 日本語入力 ヘルプ

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「家庭」ファーストに努め、（仮想現実世界から距離を置き）在宅では、デジタル・デトックスのアナログチックな「スローライフ」に改めました。私的なデジタルタイムは（調べ物や e-mail、資産管理を主用途に）、平日（火曜日～木曜日）での夜間（数十分ほど）に限定しました。着信（通知）があれば返信に努めますが、数日後になることをご了解ください。

Windows 8 ＋ ATOK 2010以前の旧式（IMM）IME + 64bit版 Firefoxの組み合わせで、クラッシュや動作不安定の報告が多数上がっているようです。Firefox 56.0.1 へのアップデートでは、Windows 7以上でメモリが4GB以上ある場合に自動で64bit版になります。

Bug-org 1409155 ATOK 2006, ATOK 2008, ATOK 2009 and ATOK 2010 crash 64-bit version of Firefox on Win 8.1 or later and ATOK 2007 doesn't work fine with same environment - WebStudio

だそうです。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:56.0) Gecko/20100101 Firefox/56.0

お二人とも早速のご回答有難うございます。
原因がわかって安心しました。
ＩＭＥの買い換えですね…。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 6.3; Win64; x64; rv:56.0) Gecko/20100101 Firefox/56.0