横から失礼します。
tyuta さんが書きました:
ショートカットを実行し、とあるサイトを表示させたのち、もう一度ショートカットを実行すると
と仰っているのは、
tyuta さんが書きました:
"C:\Program Files\Mozilla Firefox\firefox" -no-remote -P (profile名)
http://***.com上記のように設定し、24.1.1ESRで特定のサイトを表示させようとしております。
というアプリケーションのショートカット（.lnk）をくり返し実行した場合の動作について、ですよね。
この場合、
tyuta さんが書きました:
（45.0.2ESRでは、とあるアドオンを利用し特定のサイトへ自動ログインさせようとしております）
との同時使用が前提になっているなど、運用上考慮すべき条件はあるのですか？
tyuta さんが書きました:
既に一度ショートカットを実行して開いている状態で再度ショートカットを実行して、同じウインドウの違うタブでサイトを開かせることは
可能なのでしょうか。
「既に一度ショートカットを実行」と「再度ショートカットを実行」が、どちらも上記の 24.1.1 ESR 用ショートカットであるなら、通りマン さんが仰っているように、ご提示のエラーメッセージが表示されて当然だと、ぼくも思います。
で、24.1.1 ESR のショートカットの動作だけを考えればいいのなら、単純に -no-remote オプションを付けなければ、同じショートカットの再実行で、24.1.1 ESR の既存ウィンドウの新しいタブに、指定の URL が開かれると思います。
しかし、Firefox 45.0.2 ESR と 24.1.1 ESR を、それぞれ「Profileを分けて」同時使用するためには、どちらかのショートカットに -no-remote オプションを付ける必要があるでしょう（両方に付ける必要はありません）。
例えば、-no-remote オプションなしで先に起動している Firefox 45.0.2 ESR があり、後から 24.1.1 ESR のショートカットを実行する場合、24.1.1 ESR のショートカットに -no-remote オプションがないと、45.0.2 ESR の新規タブに 24.1.1 ESR のショートカットで指定された URL が開かれるはずです。
24.1.1 ESR のショートカットに -no-remote オプションが付いていれば、45.0.2 ESR とは別に 24.1.1 ESR のウィンドウで指定された URL を開くことができます。しかし、続けて同じ 24.1.1 ESR のショートカットを実行すると、ご提示のエラーメッセージが出るはずです。（「またこのパラメータを使用すると、どのような場合でも新しいインスタンスを作成」しようとするので、すでに使用されているプロファイルを新たに使用する動作となり、エラーメッセージが出るのでしょう。）
一方、-no-remote オプション付きで Firefox 45.0.2 ESR が先に起動している場合、-no-remote オプションがない 24.1.1 ESR のショートカットで、24.1.1 ESR のウィンドウを開くことができ、再度 24.1.1 ESR のショートカットを実行すると、すでに開いている 24.1.1 ESR のウィンドウ上の新しいタブで指定 URL が開かれるはずです。（-no-remote オプションがないため「インスタンスが再使用され」、既存のウィンドウ内にショートカットで指定した URL が開かれるのでしょう。）
ただしこの場合、Firefox 45.0.2 ESR が -no-remote オプション付きで起動していることの制約を受けます。
バージョンが異なる２つの Firefox をどのように運用している（運用したい）かによって、考慮すべき点が変わることに注意してください。
ブラウザの位置づけ的にメインとサブがあるとか、使用頻度に大きな差があるとか、特殊な運用を前提としているなどの背景事情によっては、どんなふうにショートカットを作れば tyuta さんの意図をかなえられるか、あるいは不可能なのか、状況が変わってくると思います。
（補足）
「同じウインドウの違うタブでサイトを開かせる」を、なぜアプリケーションのショートカット（.lnk）で実行しなければならないのか、そのあたりの事情を説明なさると、また違った観点からのアドバイスが寄せられるかもしれません。
ごく単純に考えれば、「同じウインドウの違うタブでサイトを開かせる」を実行するだけなら、インターネットショートカット（.url）と Firefox 24.1.1 ESR の関連付けをシステム側で設定するような方法もあると思います。目的のサイトのインターネットショートカットを実行（ダブルクリック）すれば、すでに開いている Firefox 24.1.1 ESR のウィンドウ内に、新しいタブでそのサイトが開かれる、といったようにです。こういう方法ではダメな理由をご説明いただければ、という意味でもあります。
とりあえず以上です。的外れな話だったらすみません。
（お約束な話）
ご承知の上でお使いなら余計なお世話になってしまいますが、こういう公の場でのお約束なので......。
ご利用の Firefox 24.1.1 ESR も、45.0.2 ESR も、すでにサポートが終了したバージョンです。
現時点での ESR 系の最新バージョンは、45.4.0 です。
旧バージョンを使い続ける特別な事情がない限り、最新の ESR 版に移行されることをお勧めします。
（と、いちおう言っておきます。）
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