※質問するときは、「フォーラムの利用に関するご案内」、とりわけ「質問するときは」に目を通し、OS の種類や Firefox のバージョンといった使用環境についての最低限の情報を書き添えることをお勧めします。横から失礼します。
サンプルとして、当方の環境（Windows 7 / 8 + Firefox 46.0.1 / 45.1.1）から、
https://translate.google.co.jp/にアクセスして、
https://www.mozilla.org/en-US/foundation/の URL を翻訳対象として実行しても、ご質問にあるようなエラーは起こらず、翻訳結果を表示できました。
translator さんが書きました:
最近（と言っても一か月以上前から）
現在の最新バージョンは Firefox 46.0.1 ですが、「一か月以上前から」だとすると 45.0.x のころにも起こっていたのでしょうか。
translator さんが書きました:
400. That’s an error.
Your client has issued a malformed or illegal request. That’s all we know.
と出るようになって困っています。
このエラーメッセージからすると、文字通り HTTP ステータスコード が 400 の Bad Request（ブラウザ側からサーバー側へのリクエストが不適切）ということになります。
一般的にいえば、ブラウザからのリクエストが不正になる場合、比較的よくあるのがブラウザに保存された Cookie が破損したケースです。
とくに Cookie の利用を前提としたサイトの場合、ブラウザからサーバーに送られた Cookie データが不正常なら、サーバーはそのリクエストを受け付けないことがありますから...。
なので、この種のエラーに対するユーザー側での対処として、まずは Cookie を削除することがよくアドバイスされています。
「類似症状をnet検索してみると、google.co.jpとgoogle.comのキャッシュを手動で削除すれば良い」と仰っているのは、Cookie を含んだ広義の「キャッシュ」の意味だと思いますが、Cookie に手を付けないままディスクキャッシュ(*) だけを削除しても効果は薄いですから、注意してください。
(*)
[オプション] -> [詳細] -> [ネットワーク] -> [キャッシュされた Web ページ] -> [今すぐ消去] 、またはメニューから [履歴] -> [最近の履歴を消去] で [キャッシュ] にだけチェックを入れた状態で [今すぐ消去] Cookie に原因がある場合、特定のブラウザだけに起こって他のブラウザでは症状が出ないことは十分ありえます。Cookie データはブラウザごとに保持され、ひとつの Cookie を複数のブラウザで共有することは基本的にないからです。
ほかに Firefox だけで起こるケースとしてはアドオンがらみの問題も考えられますが、これは使っているアドオン（ツールバー含む）によります。とくに、サーバーとの通信に絡むアドオン（例えばリダイレクトをスキップするような）、セキュリティ対策ソフトが入れてくるツールバーなんかが原因になりやすいと思います。
当然ながら、サーバーが 400 Bad Request を返す原因は、Cookie だけとは限りません。
ある種のマルウェアに入り込まれた場合、ブラウザからサーバーに向かうリクエスト（要求）がマルウェアによって改変され、対象サーバーから適切なレスポンス（応答）を得られなくなることがあります。
皮肉なことに、セキュリティ対策ソフトが持っている機能のうち、ブラウザとサーバーの間に入って作用する機能（サイトの安全チェックとか）が動作不良を起こしているような場合も、この種のエラーが起こることがあります。
これらは、Firefox 以外のブラウザにも同様のエラーを発生させる原因になりますし、ブラウザ単体をいくらいじっても解決できません。
次の公式サポート記事を参考に、上述した事柄に関連する項目を重点的にチェックして、問題点の絞り込みをやってみてはいかがでしょうか。
（参考）・基本的なトラブルシューティング | Firefox ヘルプ
https://support.mozilla.org/ja/kb/troub ... x-problemsとくに、Cookie とキャッシュの消去、セーフモードでの起動、新しいプロファイルでの動作、セキュリティ対策ソフトによる干渉の有無、ウイルスやスパイウェアの影響などの項目が関係してくると思います。
translator さんが書きました:
そのサイトには（その方法でうまくいったそうですが）、googleではなく、おそらくfirefox側の問題だろうと書いてありました。
（以前は翻訳できていた、特殊な処理の無い短いサイトでも翻訳できませんでした。）
以前は正常だった動作が、ある時期から異常をきたすようになった場合、Firefox やアドオンのアップデートが引き金になっているケースがしばしばあるので、まず Firefox の異常を疑うのはもっともです。しかし、それだけが原因と限らないのは上述のとおりです。
引用されたサイトで「googleではなく、おそらくfirefox側の問題だろう」と書かれていたというのは、"サーバー側（サイト）ではなく、おそらくクライアント側（ユーザー環境）の問題だろう" という意味でなら、そのとおりだと思います。
400 Bad Request を誘発する原因が存在するユーザー環境であれば、Firefox 以外のブラウザでも起こりうることは、pal さんが紹介なさっているとおりです。
具体的にエラーメッセージが出ているのなら、まずはそこを足掛かりにして、そういうエラーを起こしうる条件をひとつずつ点検していくことが大切だと思います。万一、マルウェアに感染したのが原因であれば、Firefox だけに原因を求めているといつまでたっても根本的な解決ができず、被害を拡大してしまうことにもなりかねませんから。
専門スキルのないぼくもよく失敗して後から反省するのですが、専門的な判断ができないからこそ中途半端な先入観で物事を見ず、ニュートラルな姿勢でトラブルシューティングに臨むことが大切だなあと感じます。
とりあえず以上です。的外れな話になっていたらすみません。
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