（前置き）
念のためにもう一度書きますが、Firefox OS の話でいいのでしょうか？
もし、一般的なデスクトップ OS 上での、デスクトップ版の Firefox のお話なら、トピックの投稿先がカテゴリ違いになり、Firefox OS のカテゴリに興味のないデスクトップ版ユーザーの目に触れる機会が減ることで、有効な回答を得られる機会も減ります。
（本題）
【テスト】
先に挙げたサンプルページのひとつを例に、テストをしました。
環境条件は、Windows 8 Pro 64bit + Firefox 39.0 および Internet Explorer 10 です。
いずれも、すべての履歴・キャッシュを保存する設定にし、ブラウザ終了時の自動削除は無効化してあります。
保持している履歴データなどの何者かが、影響しているかどうかを見ることを目的にしています。
（1）サンプルページにアクセス。
http://www.kent-web.com/pwd/pwmgr.html ページ上部にある [Sample] ボタンを押すと、http://www.kent-web.com/pwd/pwmgr/secret/ （X）に遷移しようとします。
（この階層に、BASIC 認証が指定されています。）
（2）このとき、BASIC 認証の入力ダイアログが開くので、上記ページに書かれたサンプル用のユーザー名（ID）とパスワードを入力し、[OK] ボタンを押します。
（3）目的のページ（X）が開きます。
ID やパスワードを保存していない場合、保存するかどうかを尋ねるダイアログが開きます。
ID やパスワードの保存は任意ですが、ここでは保存しておきます。
（4）（3）で開いていたタブを閉じ、ブラウザを終了します。
（5）ブラウザを再起動し、ロケーションバー（アドレスバー）に（X）と入力してそのページにアクセスします。
―― この手順を実行したとき、Firefox 39.0 と Internet Explorer 10 で動作に違いが出るかどうかです。
当方での結果は、Firefox も Internet Explorer も、（5）の操作をしたとき（2）と同様のダイアログが開きました。
（3）でパスワードを保存しているため、それぞれの入力欄には ID とパスワードが自動挿入されています。
[OK] ボタン押下で、指定したページが開きました。
この結果を見る限りでは、Firefox と Internet Explorer の動作に差は認められず、Firefox についてもご質問のような動作は再現できませんでした。
（Firefox OS での話なら、このテスト結果は参考にならないかもしれませんが...。）
【変則的な事例】
（5）でブラウザを起動したあと、オフライン作業に切り替え、そのあと対象ページ（X）へのアクセスを実行します。
すると、Firefox では、BASIC 認証の入力ダイアログが現われないまま、そのページ（X）が表示されました。
これは HTTP 通信を経ずキャッシュデータを読み込んでいるのだとわかります。
この状態から、オンライン作業に切り替え、そのページ（X）をリロードすると、ページ内容が表示されたまま BASIC 認証の入力ダイアログが現われました。
一方、Internet Explorer では、対象ページ（X）へのアクセスを実行した時点でオフライン状態が自動的に解除され、（X）の URL へ HTTP アクセスが発生し、BASIC 認証の入力ダイアログが現われました。
[OK] ボタンで対象ページが開きました。
【考察】
・BASIC 認証の指定の仕方（.htaccess の記述など）や、サーバー上の他の要因が影響している可能性。
・Firefox の履歴やキャッシュの取り扱いに関して、何か特別な条件が組み合わさったときに発生する可能性。
・Firefox に導入されている何らかのアドオンが影響を与えている可能性。
・Firefox にだけ作用するクライアント内の何か（パスワード管理ソフトとか）が影響している可能性。
―― などが抽象的には考えられると思いますが、現状では具体的なところまではわかりません。
デスクトップ版 Firefox の話なら、基本的なトラブルシューティングを試してみることで、問題点の切り分けを進められるかもしれません。
（参考）・基本的なトラブルシューティング | Firefox ヘルプ
https://support.mozilla.org/ja/kb/troub ... x-problemsストレートな解決策でなく申し訳ありませんが、いちおう気がついたことを書かせていただきました。
Firefox OS に絞った話なのかどうかを含め、takofuji さんのところで発生している問題の再現手順などを具体的に書いていただけると、他のユーザーさんのところでもテストできるので、追加のアドバイスが寄せられるかもしれません。
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