今日vineの動画を再生しようと試みましたが全然読み込まれません。
真っ白の画面の中央にグレーの円がくるくる回っているだけです。
vineのTOPを見に行っても同じです。
ネット検索でヒットする解決法を試みるも変化なしです。
Firefoxのバージョンアップ待ちでしょうか。。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; rv:38.0) Gecko/20100101 Firefox/38.0

どのサイトの情報に従ってどのような解決法を実施しましたか？

一般的に、解決策を実施する前にまず問題の原因を切り分けるところから始めた方が解決に繋がりやすいです。
もし以下の「基本的なトラブルシューティング」をまだ試していない場合、これに従って問題の原因を探してみてください。
https://support.mozilla.org/ja/kb/troub ... x-problems
もし既に行っている場合、その結果はそれぞれの手順においてどのようなものでしたか？

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Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.10; rv:41.0) Gecko/20100101 Firefox/41.0

再現できました。
けど、IEでも同様です。
したがって、サイト側の問題である可能性が大きいです。

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[Desktop] Windows 10 pro (64bit) / 16GB RAM

失礼しました。
改めて試してみたところWindowsのみで再現する問題らしく、以下のバグに報告されており、現在サイト側とコンタクトを取っているところのようです。
https://bugzilla.mozilla.org/show_bug.cgi?id=1174088

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Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.10; rv:41.0) Gecko/20100101 Firefox/41.0

今試しに、FirefoxのUAをWindows以外のものに変えてアクセスしてみたら再生出来ました。
例えば、Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:40.0) Gecko/20100101 Firefox/40.0に。

都の民さん、暫定的にUAを変えられるアドオンを入れてみてはどうでしょうか。

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Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:40.0) Gecko/20100101 Firefox/40.0