こんにちは。

未読メールというのは受信したばかりのメールの事ですよね。
再起動することで表示されるようになるとの事ですので要約ファイルがおかしくなって
いると思われます。

・「起動時に新着メッセージを確認する」のチェックをはずして
・「新着メッセージを X 分間隔で確認する」を10分以上にしてみて
・送受信しない状態で
・受信トレイにたくさんのメールを溜め込んでいるようでしたら他のフォルダに
　分散させてから
フォルダの最適化をしてみてください。

それでも現象が再現するようでしたら、Thunderbird をセーフモードで起動させて
みてください。
現象が無くなれば拡張機能かテーマが悪さをしていますのでひとつづつ無効にして
どれが原因かつきとめてください。
原因となっている拡張機能かテーマを削除すれば現象は直るはずです。

それでもだめな場合はプロファイルを新たに作り直してみてください。
プロファイルマネージャを起動すれば簡単です。

＊職場の方では問題ないという事ですので違いを比較すれば何か原因らしきものが
　見えてくるかも知れません。