環境がわかりませんが、ルーター兼DHCPサーバー兼VDSLモデム一台で、外に光ファイバー、というような場合には、どのPCからのアクセスでも、プロバイダーによって同じグローバルIPアドレスがアサインされ、サーバー側の接続制限数にひっかかる、という感じですね。
同じIMAPアカウントを、そんなに多くのPCで定義する必要がある、という環境や使い方が良くわかりませんが、
設定のテストなどで、一箇所でまとめて行っているため、ということであれば、
サーバー設定、詳細、で、Max Cached Connectios = 1 にするといいでしょう。
デフォールト=5で、Tunderbirdは、接続１=Inbox専用、接続2=Trash専用、接続3,4,5を、他のMbox用、に使います。
テストでのアクセスであって、数多くのMboxへの頻繁なアクセスが目的ではないでしょうから、
接続１だけにして、Inbox,、Trash、他のMboxで、接続１を交互に使用、とすれば、もう少し多くのPCの設定の確認を、同時にできるかもしれません。

ご連絡ありがとうございます。
なぜ、同じIMAPアカウントを複数台同時使用しているのかというと、大量に届く注文メールを複数人で返信処理しており、後々の確認時の際に送信履歴を共有しておきたいからです。
その場合はテスト的に使用というわけではないので、やはりIMAPの複数台運用は控えた方が良いのでしょうか？
お手数ですが、ご確認の程よろしくお願いいたします。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/35.0.1916.114 Safari/537.36

「送信履歴」だけの問題で、IMAPサーバーの同時接続数制限によってアクセスできないのなら、
送信は任意のSMTPサーバーを使えるのだから、送信は、全員がGmailの同じSMTPのIDを使って送って、Gmailに特定のアカウントの[Gmail]/Sent Mailに入れてもらい、
見るのはWebメール、にすれば、済む。
Gmailのような場合は、Google Appsなどを利用し、きちんと契約を交わして同時接続数制限を解除してもらう、というような手段はあるはず。
IMAPサーバーの同時接続数制限が原因ならば、Webメールに切り替える、という手もある。