Mozilla Thunderbird 24.0.1
IMAP (dovecot)

を利用しています。

サーバ側でwebメールを使っているため、ごみ箱フォルダが INBOX.Trash という名前なのですが
アイコンがに"ごみ箱"にかわらず Deleteキー等でメールを削除しても INBOX.Trash へは移動されません。

INBOX.Trash ではなく
Trash
trash
等を試してみましたが"ごみ箱"ではなくフォルダと認識されるようです。
また表示が Trash ではなく "ごみ箱"という名前に書き変わってしまいます。

四苦八苦して Trash trash INBOX.trash の購読をやめたところ
ごみ箱フォルダが復活しましたが、サーバ上との同期は取れませんでした。
何か解決方法はあるのでしょうか。

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オプション→アカウント設定→(当該アカウント)→サーバ設定→メッセージを削除するとき→次のフォルダに移動する
で INBOX.Trash を指定してください。
Thunderbird のデフォルトではごみ箱フォルダとして Trash という名前のフォルダを使いますので、web メールなどで違う名前のフォルダがゴミ箱になっているときにはそれを指定する必要があります。

少し前に類似例がありましたのでそちらも参考に。
viewtopic.php?f=3&t=14364#p50535

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