結論からすると、Thunderbird 上の Plala アカウントと Gmail 上の Plala アカウントが
まったく同一のものならば、Thunderbird の送信済みメールのコピー先と、Gmail のラ
ベルとで、同期先を同一にすれば、可能になるでしょう。
また、Thunderbird 側で、IMAP アカウントサーバの購読先の有無も、設定が必要になる
かも知れません。
そのあたりも、今一度見直してみましょう。
[補足1]
IMAP は受信プロトコルで、送信サーバと一体ではなく、別です。
[参照]
IMAP による同期 | 操作方法 | Thunderbird ヘルプ同じアカウントでも Gmail 上でメッセージを作成して送信した場合は、Thunderbird 側
から、送信サーバの接続を介して送信するわけではないので、上記の工夫が必要です。
[補足2]
Gmail の Plala アカウントとは、Google Apps ユーザとしてご利用されているケースな
のでしょうか?
それとも、単に Plala メールアドレスを Gmail で、追加登録しているケースでしょうか?
それらの仕様によっては、異なるケースがあるかも知れません。
【大きなお世話】
Thunderbird の名称・名前(製品名)は、thunderbird ではなく、Thunderbird です。
Gmail を gmail と書かないのと同じです。