Firefox13.0.1でVectorからダウンロードしようとしたらダウンロードのメッセージは出るのですが保存できていません。
OS:Win Vista HP　ダウンロード場所：デスクトップ
同じことをIEで試したところ正常に保存できています

とりあえず、下記各項目のチェックを。

ファイルのダウンロードや保存ができない

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[Desktop] Windows 10 pro (64bit) / 16GB RAM

お世話になります。次をやってみました。
１．履歴を消去・・・・履歴にはなにもない
２．別のフォルダーを作る・・・・ダメ
３．browser.downlord.dir,browser.downlord.folder.list,browser.downlord.manager.retentionをリセット・・・・だめ
４．トラブルシューティングでFirefoxを初期状態に戻すのボタンがあったので戻してみた。・・・・だめ
すべてを戻すとしてありましたので以降はテストしていません。

横着せずに全部確認してください。
でないと、解決できませんよ。

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[Desktop] Windows 10 pro (64bit) / 16GB RAM

Firefoxウイルススキャンを無効にしたらダウンロードフォルダーには保存できましたが、相変わらずデスクトップフォルダーには保存できません。

念のため。

初期状態に戻したのであれば、ダウンロードしたファイルが保存される場所はダウンロードフォルダになります。
保存先がデスクトップに設定されているか確認を。
設定ウィンドウ - 一般パネル

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[Desktop] Windows 10 pro (64bit) / 16GB RAM