特にページ内検索系アドオンを使う上で問題になってくるかと思いますが、
（SearchWP等）

今までだと検索バーにて検索した後も、バー内の入力内容は残っていたので、そのままページ内検索ができたのですが、今回から一度Googleサイト内の検索ボックスに入力内容が移り、検索バー内の内容が消えてしまうため、検索した後、入力ワードをコピーして貼り付ける必要があり、非常に不便です。

なんとかならないでしょうか？

※質問の際にはご自身の環境（OS、Firefoxのバージョンなど）を明示して頂くようにお願いします。
※また、不具合がいつから始まったものなのか（アップデート直後、アドオン追加後、など）の情報も
あると問題点を絞れると思います。

本題です。

Windows 7　SP1 64bit+Firefox8.0と、OS X 10.6.8+Firefox8.0で確認してみましたが、
再現しません。
Googleの検索ボックスと、検索バーの両方に入力ワードが保持されています。

SearchWP（2.5.0)をインストールした状態でも試してみましたが、問題なく
入力ワードが表示されています。


もし他にアドオンなど追加されているようでしたら、それらの影響も可能性として
考えられるので、一度セーフモードや新規プロファイル作成でも検討されることを
お勧めします。
セーフモード｜操作方法｜Firefoxヘルプ
プロファイルの管理｜操作方法｜Firefoxヘルプ

おっしゃっている「検索バー」というのは、右上にある「検索窓」のことでしょうか？
http://support.mozilla.com/ja/kb/Search%20bar

だとしたら、ここから、ページ内検索はできません。
したがって、

というのは、何らかのアドオンによるものと推測されます。

そうだとすると、そのアドオンが、Firefox 8に(きちんと)対応していないために、

となったのでしょう。

_________________
[Desktop] Windows 10 pro (64bit) / 16GB RAM

Firefox標準の「検索」「次を検索」でも再現する問題なのでしょうか？

_________________

＊Windows 10 21H1 64bit/＊GoogleJapaneseInput：ATOK2017：MS-IME
Firefox 95.0：Beta 96：Developer Edition 96：Nightly 97.0a1：
Thunderbird 91.4.0：Earlybird 96：Daily 97.0a1：SeaMonkey 2.53.10/2.58a1：
Opera 82.0.4227.23：Google Chrome 96.0.4664.93/98.0.4756.0（Official Build）canary：
SRWare Iron 96.0.4900.0：Lunascape 6.15.2：Avant Ultimate 2020 build 3, 3.17.2020

すみません。試してみたところ、他のアドオンが原因で消えていたようです。

ありがとうございました。