QuickTimeをインストールしてもアドオンマネージャーにも表示されません。
何度再インストールしてもできませんでした。
そのあとダウンロードしたRealPlayerは追加されたのですが・・・
QuickTimeを追加するには特別な作業が必要なのでしょうか？

特別な操作は不要です。

Firefoxを終了した状態で、QuickTimeをインストールしていますか？

プロファイルフォルダ内のpluginreg.datを削除してからFirefoxを起動したらどうなりますか？
http://support.mozilla.com/ja/kb/Profiles

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[Desktop] Windows 10 pro (64bit) / 16GB RAM

Firefoxを終了した状態で、QuickTimeをインストールし直し、pluginreg.datを削除してからFirefoxを起動しましたが、QuickTimeは追加されませんでした。

※質問するときは、フォーラムの利用に関するご案内 、とりわけ 質問するときは に目を通し、OS の種類や Firefox のバージョンといった使用環境についての最低限の情報を書き添えることをお勧めします。

横から失礼します。

「QuickTimeをインストール」の記述からたぶん Windows OS をご利用だと思いますが、ご利用環境やインストールしようとしている QuickTime のバージョン等、最低限の情報が明記されていないためごく一般的な話として......。

すでに確認なさっているかもしれませんが、Firefox 側でのサポート記事は下記のとおりで、その案内どおりにインストールすれば普通は自動的に Firefox にプラグインとして認識されます。
・QuickTime プラグイン利用ガイド

ただし Firefox は、セキュリティ上の脅威や動作の安定性に問題をもたらすことが判明している「拡張機能」や「プラグイン」をブロックします。
プロファイル配下にある blocklist.xml というファイルに、ブロック対象の条件が記述されており、状況に応じて適宜更新されます。
・危険なアドオンのリスト

QuickTime の特定バージョンは、特定バージョン未満の Firefox でブロックされていたはずですので、ご利用の環境条件によってはブロックされているのかもしれません。（システムに QuickTime をインストールはできるが Firefox はプラグインとして認識しない――という意味です。）

また、可能性は極めて低いですが、隠し設定の plugin.scan.Quicktime の値が何らかの理由で改変されているようなケースでは、インストールされている Quicktime プラグインを認識しないことは、理屈の上でありえます。

Firefox で新規プロファイルを作り、設定等を何も変更しない素のままの状態で、アドオンマネージャで Quicktime プラグインが認識されているかどうかを確認すると、問題点の切り分けが進められるかもしれません。
（参考）とくに「8. 新しいプロファイルを作成する」
・基本的なトラブルシューティング

一方、QuickTime 側から見るべき点は次のようなことでしょうか。
Windows 版の QuickTime インストーラは、ご存知のように Apple 社の公式サイトで配布されています。
現時点での最新版は QuickTime 7.7.1 で、対応 OS は Windows XP /Vista / 7 です。
もし、Windows 2000 をご利用なら対象外です。

もしも、Apple 社の公式サイト以外で入手したインストーラだった場合、必ずそうだとはいいませんが、不正な改変を受けている可能性もありえますので、注意してください。

一般に、Firefox のアドオンのうち「プラグイン」に分類されているものは、外部のソフトウェア（の機能）を Firefox で利用できるようにするためのもので、プラグインのインストールは通常、ブラウザではなくシステムに対しておこなわれます。
つまり、プラグインの本体たるソフトウェアが正常にシステムにインストールできてはじめて、Firefox から利用できるようになるということです。（一方、「拡張機能」は通常、ブラウザに対してインストールされます。）

Firefox 以外に Quicktime プラグインを利用できるアプリケーションをお持ちなら、そのアプリでの動作を確認することで、Quicktime 自体が正常にインストールできているかどうかを判断できるのではないでしょうか。
他のアプリからも Quicktime プラグインを利用できなければ、Quicktime のインストール自体がうまくいっていないことも考えられます。この場合は、Apple 社のサポート情報を調べてみてください。
他のアプリからは Quicktime プラグインを利用できるのであれば、Firefox との連携において問題が起こっている可能性が濃厚です。Firefox 側の問題としては上述のとおりですが、もしかしたら他にも要因があるのかもしれません。

そのほかに考えられることとしては、セキュリティ対策ソフトなどの何らかの機能が、QuickTime と Firefox の連携を阻害しているようなケースですが、具体的な機序はわかりません。

とりあえず思い当たることは以上です。外してたらすみません。

ご回答ありがとうございます。

ＯＳはwindows7でインターネットはフレッツ光ＯＣＮで、家族のPCとＬＡＮで繋がっている状態だそうです。
QuickTimeＰｌａｙｅｒ7をＡｐｐｌｅのサイトからＤＬしました。

QuickTimeの更新をしようとしたところ
ＱｕｉｃｋＴｉｍｅソフトウェアサーバーと接続を確立できませんでした。
このコンピュータのインターネット接続に問題があるか、サーバー側がオフライン状態にあります。
というエラーが出ました。

ＩＥでもアドオン確認してみましたが、やはり追加されなかったので
ＱｕｉｃｋＴｉｍｅ側かインターネットの接続環境に問題があるという事でしょうか？
ＦｉｒｅＦｏｘ側の問題ではないようです。

新規インストールではなく、更新（アップグレード）ですか？
何にしても、QuickTime のインストーラが途中でつまずいている感じですね。

旧バージョンの QuickTime を温存したまま新バージョンを新規にインストールしようとしているとしたら、その点での問題もあろうかと思われますし、その PC での artemis さんのユーザー権限がどうなっているかが関係しているかもしれません。
あるいは、QuickTime インストーラが Apple のサイトに接続しにいくのをファイアーウォールがブロックするため、そこから先のインストール作業に進めないのかもしれません。

いずれにしても、QuickTime のインストール段階でつまずいているのだとしたら、基本的に Firefox は無関係だと考えてかまわないと思います。（インストール後にプラグインとしての連携に問題があるなら、Firefox 側にも原因があるかもしれません。）

くり返しますが、Apple 社のサポート情報も調べてみてください。
（参考 - 下記以外もあたってみてください）
・Windows の iTunes または QuickTime のインストールにおけるトラブル

QuickTime 側もしくはユーザーのシステム環境に起因する問題であるとしたら、申し訳ないですが Firefox のフォーラムでフォローできるのはこのあたりまでかと......。