OS:Windows Vista Home Premium Service Pack 2
Firefox:6.0.2

Firefoxを既定のブラウザにして、アプリケーションのヘルプよりリンクＵＲＬを起動すると例外発生

お手数ですがブラウザを起動してURLを直接入力してください。
以下の例外が発生しました。

System.ComponentModel.Win32Exception:指定されたファイルが見つかりません。
　場所
System.Diagnostics.Process.StartWithShellExecuteEx(ProcessStartInfostartinfo)
場所 Syatem.Diagnostics.Process.Start()
場所 Syatem.Diagnostics.Process.Start(ProcessStartInfo startInfo)
場所 Syatem.Diagnostics.Process.Start(String fileName)

OS:Windows Xp
Firefox:6.0.2
では、上記例外は、発生しないで正常表示される。
.NET Framework2.0と.NET Framework3.5の違いがあるのでしょうか
もし違いがあるとすれば、Vistaでは、.NET Framework2.0がインストール不可なので
この例外は、直せないのでしょうか？
また、他に原因があるのでしょうかよくわかりません。どなたかお解かりになりましたら教えてください。

Windows Vista Home Premium Service Pack 2 上にある特定のアプリケーション A から、既定のブラウザに設定された Firefox 6.0.2 を正常に呼び出せないということですか？【P】

提示されたエラーメッセージを見ると、Firefox が出しているものではなさそうです。
アプリケーション A（.NET アプリ？）が出しているのだと思われますけど、「例外」はアプリケーション A で発生しているのではありませんか。
その結果、既定のブラウザである Firefox の呼び出しに失敗しているのだと考えられます。
呼び出しを受け取った Firefox が起動に失敗しているとかではなく、呼び出す手前でコケている感じですね。
（だからでしょうか、ご質問の文面でも Firefox の動作に関する具体的な記述は何もありません。）

念のため【P】の環境で問題点を切り分けるなら――、
（1）他のアプリケーション B 、C ... から既定のブラウザを呼び出す操作をしたとき、Firefox が正常に呼び出されるなら、Firefox は既定のブラウザに正しく登録されていることがわかります。となると、原因はほぼアプリケーション A にあると推測できるでしょう。（エラーメッセージからみてもそうだと思いますが...。）
この場合はアプリケーション A 、および .NET Framework の側から原因を究明するのが正攻法かと思います。

（2）他のアプリケーション B 、C ... から既定のブラウザを呼び出す操作をしたときも、Firefox を正常に呼び出せないなら、Firefox が既定のブラウザとして適切に登録されていない可能性が考えられます。
既定のブラウザの設定をやり直してみるとどうなりますか。
あるいは、他のブラウザ（できれば Internet Explorer 以外）をシステム既定のブラウザに設定してみると、【P】の操作でどのような結果になりますか。
その後、再び Firefox を既定にブラウザに設定するとどうなりますか。
「既定のブラウザ」というのは OS が管理するものですから、OS の不具合も視野に入ってくるかもしれません。

一方、Windows XP 上では、同じアプリケーション A から、既定のブラウザに設定された Firefox 6.0.2 を正常に呼び出せているのですよね。【Q】
【P】と【Q】の違いは OS ですが（アプリ A も Vista用と XP用の違いがある？）、とりわけ .NET Framework のバージョンの差に要因がありそうだと推測なさる理由があるなら、.NET Framework の側から問題点を追究するほうがいいと思います。ただし、
仮にそうだとして、それをここで聞かれても困ります。そういう疑問があるなら、.NET Framework の開発・提供元である Microsoft 社にお尋ねになるのが筋だと思います。（逆にいえば、Microsoft 社に Firefox 自体のことを質問するのは筋違いであるのと同じことです。）

本件は、明確にエラーメッセージが出ているわけですから、まずはそれを出している側からあたっていくのがトラブルシューティングの常道ではないかと思います。
そういう手順をたどっていく中で、Firefox 側にも問題がありそうだということがわかれば、そのあたりの経過説明を具体的に書いて再質問してみてください。
Firefox 側についての情報があれば、それを手がかりにどなたかからアドバイスがあるかもしれません。

ご期待の応答ではないかもしれませんが以上です。外してたらすみません。

以前はいかがでしたか？
たとえば、6.0.1とか、あるいは3.6.*とか。
Firefoxを使うのは6.0.2が初めてでしょうか？

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[Desktop] Windows 10 pro (64bit) / 16GB RAM

以前３．６．＊のときは、正常でした。

また、追加の情報として

・Lunascape6では、ダンマリです。またSymantec Norton Internet SecurityのＩＤセーフ設定
　からのＵＲＬクリック等もダンマリです。
　検索エンジンを”Trident(IE)”にしても同様です。
　
・”Googl Chrome”と”ＩＥ”では正常の動作します。
・Symantec Norton Internet SecurityのＩＤセーフ設定からのＵＲＬクリック等は、ダンマリです。
・ブラウザからのＵＲＬクリックは、正常で、他のアプリケーションのヘルプからのＵＲＬでも正常動作す
　るものもあります。
・ＸＰとの設定の違いは、ありませんでした。

規定のブラウザだけでは無く「規定のファイル/プロコトル」で「.lnk」や「.url」はFirefoxに成ってますか？

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＊Windows 10 21H1 64bit/＊GoogleJapaneseInput：ATOK2017：MS-IME
Firefox 95.0：Beta 96：Developer Edition 96：Nightly 97.0a1：
Thunderbird 91.4.0：Earlybird 96：Daily 97.0a1：SeaMonkey 2.53.10/2.58a1：
Opera 82.0.4227.23：Google Chrome 96.0.4664.93/98.0.4756.0（Official Build）canary：
SRWare Iron 96.0.4900.0：Lunascape 6.15.2：Avant Ultimate 2020 build 3, 3.17.2020

.lnkは、ショートカットの為、Firefoxにすることは、不可能です。
.urlは、firefoxになっています。

*HKEY_CURRENT_USER\Software\Microsoft\Windows\CurrentVersion\Explorer\FileExts\.lnk\OpenWithListは、firefoxとなっています。

よくわかりませんが、LunascapeでもFirefoxでも最近この現象が出力されなくなりました。
原因不明です。