つい最近更新された3.6.2なのですが、更新前と後で変化がありまして、それまでパスワードを入力しなくてもログインできたサイトを開くとパスワードを入力しなければいけなくなりました。
不思議に思いながらもパスワードを入力してちゃんとログインし、ウィンドウの上にでてくる
～.comで使用する"～～"のパスワードをFireFoxに記憶させますか？
という、一度記憶させたら出ないはずの表示が現れさらに、「記憶する」をクリックしてもその表示は消えず再びその際とを開くときはまたパスワードを入力しなければいけない。つまりパスワードが記憶されない状況に陥っています。
調べてみて　ツール→セキュリティ→サイトのパスワードを保持するにチェックが入っていることを確認し、パスワードの例外サイトをすべて消したのですが（そもそもその中に上記のサイトはなかったのですが）至って変わりありません。
これはバグかなにかなのでしょうか？

http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?t=9948
状況は同じでしょうか？

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＊Windows 10 21H1 64bit/＊GoogleJapaneseInput：ATOK2017：MS-IME
Firefox 95.0：Beta 96：Developer Edition 96：Nightly 97.0a1：
Thunderbird 91.4.0：Earlybird 96：Daily 97.0a1：SeaMonkey 2.53.10/2.58a1：
Opera 82.0.4227.23：Google Chrome 96.0.4664.93/98.0.4756.0（Official Build）canary：
SRWare Iron 96.0.4900.0：Lunascape 6.15.2：Avant Ultimate 2020 build 3, 3.17.2020

パスワードが保存されないのは同じですが、そちらの原因はサイト側にあるようですので違うかと思います。
こちらは何度ログインしても「このパスワードを保存しますか？」という表示は現れます。ただ、「記憶する」をクリックしても反応しない、ボタンは押されてるのに何も変化なし。「今回は保存しない」・「このサイトでは保存しない」をクリックするとちゃんと表示は消えます。

OSなど環境が書かれるまでレスしないつもりでしたが、

Windows Vista/Windows 7ならUACは？ Windows XP SP3も部分的に似たような仕組みが有ったような．．．
インストールがAdmin権限でアップデートがAdmin権限無しのユーザでやってしまったとか。またはその逆とか。
Windows Vista/Windows 7なら上記によりファイルを見失うとか書き込み権限が無くて無視されているとか．．．
http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?p=24049#24049 以降に参考になることが有るかも。
Macならさっぱりわかりません。

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　　　　　＊質問・投稿する前に フォーラムの利用について をきちんと読みましょう。
　　　　　＊環境として OS の種類、Firefox のバージョンぐらいは書き添えましょう。
　　　　　＊質問した後は結果や経過を必ず書くようにしましょう。


実際にその現象が起きているサイトアドレスを提示することができないと他の
方々も再現確認が困難です。
できればどのサイトなのか開示しましょう。

また以下の基本的なトラブルシューティングはもう試して確認済みなのでしょう
か。
もしまだであれば念のためチェックして問題の切り分けをしてみてください。
ひょっとしたらパスワードマネージャが壊れているかファイルが破損しているか
も知れません。

Firefox サポート / ナレッジベース / 基本的なトラブルシューティング
Firefox サポート / ナレッジベース / 拡張機能やテーマのトラブルシューティング


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　　　　　　　　　　＊環境として OS の種類、Firefox のバージョンぐらいは書き添えましょう。
　　　　　　　　　　＊質問した後は結果や経過を必ず書くようにしましょう。
　
　

私も同様の現象が発生していましたが、一度「オプション>セキュリティ>パスワード」で”マスターパスワードを使用する”にチェックを入れ、パスワードの設定を行うと問題が解消されました。
# 私の場合はこれまで一度もマスターパスワードを設定したことがない状態でした。

一度マスターパスワードを設定すると、以降”マスターパスワードを使用する”のチェックをはずしても、問題なくパスワードを記憶できるようになりました。