両方とも復元できて良かったですね。

繰り返しますが、受信できるようになった経緯を教えてくださいね。


おそらく左側のアカウント毎のフォルダツリー（フォルダペインといいます）の表示の違いを
云われているのだと思います。
アカウント単独のものとローカルフォルダの違いになるかと思います。

Thunderbird のローカルフォルダは特殊なアカウント種別で複数の POP アカウントをまと
めて統合表示するしくみになっています。
例えば 3 つのアカウントがあっても「受信トレイ」は便宜上 1 つに統合されます。「ごみ箱」
や「送信済みトレイ」なども同様です。

これらの違いはアカウント設定で単独にするかローカルフォルダに含めるかの選択指定に
よるものです。後から変更することもできます。
Thunderbird のバージョンの違いに限らずこの基本仕様は同じです。

おそらくアカウント設定ウィザードがバージョン 3 から大きく変更されて新しくなったのでま
ったく異なるものになったように見えるのでしょう。

少し古いドキュメントですが「ローカルフォルダ」については以下のナレッジベースを読めば
わかるかと思います。
Mozilla Japan - Thunderbird サポート - ナレッジベース - 共通受信トレイ

変更する方法は以下に説明があり、現在のバージョンでも適合する内容になっています。
Mozilla Japan - Thunderbird サポート - ナレッジベース - 共通受信トレイを使わず、アカウントごとにメールボックスを管理するには

[補足]
バージョン 3 からの新規アカウント設定ウィザードでは「ローカルフォルダ」に含めるかどう
かの初期選択箇所が無いのでわかりにくいのでしょう。以下を参照してください。
Mozilla Japan - Thunderbird サポート - ナレッジベース - 複数のメールアカウントを設定する


　
英語版をご使用なのでしょうか？

"Compact=最適化"ですが、これはオプション設定で「最適化」を半自動的に実行するように
設定している場合に表示されるメッセージかと思われます。
IMAP アカウントに限らず、メッセージのフォルダ間移動や削除をおこなった際は最適化を促
すメッセージがよく表示されることがあります。

IMAP アカウントで同期はさせているがメッセージをローカルに保存しないように設定してい
る場合はメッセージの移動やコピーでは書き換えが発生するため「最適化」を促す表示が多
く出ると思われます。
　
メッセージの移動や削除などをおこなうと移動元のフォルダでは消えて見えなくなりますが、
実際にはフラグ（位置状態情報）が変更されただけでデータ自体は残っています。
これをこのまま放置しておくとデータサイズやインデックスファイルが肥大化したり、不整合を
起こしやすくなりますのでお掃除して整えてやる必要が出てきます。
最悪の場合メッセージを失ったり、重複を起こしたり、データの一部が破損したりします。

このお掃除（整合化）をする機能が「最適化」です。（"牽引を再構築" の実行も有効です）
ですから情報（データ）が欠けるどころか無くしたり破損させないためにも「最適化」を定期的
にあるいは適時実行する方が重要です。

但し、「最適化」は万能ではありませんので「受信トレイ」などに大量のメッセージを貯め込ん
で制限容量を超えるほどになると機能しなくなったりします。
メール自体は単なるデータですがその内容は大切な情報だったりしますので保管も含めて
その取り扱いについては日頃からメンテナンスを心がけるようにしましょう。
　

【余談】
このトピックの当初の質問内容と直接関係のない新たな質問はできるだけ新たな質問とし
て投稿し直しましょう。