Firefoxを起動するとオフラインモードで起動するため、その都度、ファイルから
オフライン作業のチェックをはずさなければならない。OSはWindows2000.

セーフモードで起動してみてはいかがでしょうか？
http://wiki.mozilla.gr.jp/wiki.cgi?page=safemode

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#なお、これから質問される時はお使いの環境と製品のバージョンを含めるように気をつけてください。
質問によっては環境が書かれていなくとも推測できるものもありますが、
お使いの環境が重要な情報となる質問の場合、余計な時間がかかりますので、気をつけていただければ幸いです。

　
Firefox が勝手にオフラインモードで起動することはありません。
どのように起動させているのか具体的に書いていただかないとわかりません。

もしショートカットから起動させているのでしたらその内容（パラメータなど）を教
えてください。


＊質問・投稿する前に フォーラムの利用について をきちんと読みましょう。
＊環境として Firefox のバージョンぐらいは書き添えましょう。
＊質問した後は結果や経過を必ず書くようにしましょう。