上にある”ブックマーク”よりブックマーク登録しようとしたら、｢ブックマークを編集できます｣としか出てこないで、サイト名・URLを入力させられて登録できません。
仮に入力できて左側のサイドバーに出てきたとしても、入力したURLと全く違うので登録されており、それも開く事ができないでいます。

どうすればよいでしょうか。すごく困ってます。

右クリックからのブックマーク追加でも同一事案が発生しますか？
一応Firefox 不具合診断
http://wiki.mozilla.gr.jp/wiki.cgi?page=chart
上記の事を全て着実に実行して確認。

尚、質問の際には使ってるOSやFirefoxのビルド（バージョン）の情報は出しましょう。

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＊Windows 10 21H1 64bit/＊GoogleJapaneseInput：ATOK2017：MS-IME
Firefox 95.0：Beta 96：Developer Edition 96：Nightly 97.0a1：
Thunderbird 91.4.0：Earlybird 96：Daily 97.0a1：SeaMonkey 2.53.10/2.58a1：
Opera 82.0.4227.23：Google Chrome 96.0.4664.93/98.0.4756.0（Official Build）canary：
SRWare Iron 96.0.4900.0：Lunascape 6.15.2：Avant Ultimate 2020 build 3, 3.17.2020

　
ブックマークを登録しようとした時点で｢ブックマークを編集できます｣と表示されるのは
既にブックマークされている場合を表しています。
新規にブックマークを登録した場合は「ブックマークに追加しました」と表示されます。
[参照]
Firefox サポート/ナレッジベース/ブックマーク/ページをブックマークするには

しかしながらブックマークしたら異なる URL などになってしまうのはおかしいですね。
以下のサポートサイトドキュメントを参考にして問題を切り分けてみてください。
基本的なトラブルシューティング
拡張機能やテーマのトラブルシューティング


＊質問・投稿する前に フォーラムの利用について をきちんと読みましょう。
＊環境として OS の種類、Firefox のバージョンぐらいは書き添えましょう。
＊質問した後は結果や経過を必ず書くようにしましょう。