更新確認は 1 日おきに行われ,
更新があると右下にアラートが表示されます.
アラートの表示から半日経った後, 1 分間ブラウザを操作していないと
更新をダウンロードするかどうかを確認するポップアップが表示されます.
このダイアログから更新をダウンロードして「後で再起動」を選択した場合
1 日後に再起動するかどうかのポップアップが表示されます.
(独自調査ですので間違ってたらすみません)
なので何をしようと更新情報は 1 日おきには表示されるはずです.
また, アラートは自動で消えますがポップアップは消えません.
詳細は以下を参照.
http://kb.mozillazine.org/App.update.interval
http://kb.mozillazine.org/App.update.promptWaitTime
http://kb.mozillazine.org/App.update.idletime
http://kb.mozillazine.org/App.update.nagTimer.restart

また, 自動でダウンロードする場合はダイアログ等は表示されず裏でダウンロードされます.
この状況は [ヘルプ] 内に [ダウンロード中: Firefox 3.5.3] のように表示されます.
このメニューをクリックすると進行状況を表示するダイアログが表示され,
このプログレスバーの隣の停止ボタンでダウンロードを停止できます.
ダイアログを閉じた状態でダウンロードが完了すると Cai さんのおっしゃるように
メニューが [ダウンロードした更新を適用] に変わります.

私の環境でどれも試してみましたが問題なくダウンロードできたので,
速度が遅いのは FF長年使用者さんの環境に起因するものと思われます.
この原因が分からないことにはなんともしようがありません.

あと, ここに要望を書いても開発に関わっている人に届く保証はありませんよ.
Bugzilla 等に書きましょう.

　

私も過去に自動更新で差分更新が適用されずにフルサイズのダウンロードによる
更新に遭遇したことがあります。
しかし、その際に Firefox で検索・表示などの操作ができなくなることはありません
でした。
そのような状態になるのは Firefox 側に問題があるのか PC(OS)側に問題がある
のかの切り分けをされないといつまでも同じ問題を抱えたままになります。

すでに新規プロファイルの適用で確かめてみたらというアドバイスがありましたが
試されましたでしょうか。
（注：アドオンなどは一切入れず、オプションも一切変更しないで）
また新規プロファイルの適用でも差分更新はできなかったのでしょうか。

もし試した結果、同様の現象が再現したのならばお使いの環境に問題がある可能
性が高いと思われます。
今一度ご自身で PC(OS) 環境条件を再確認・調査することをお勧めします。
　

各位

皆様より早速の情報提供を頂き有り難う御座います。

方法２と３とでの正常な更新状況が判りました。ヤッパリ　当方の状況が可笑しいのですね。

今回を初め今までに頂いた情報を元に、当方の環境での原因調査と改善を図ります。
結果が出るまでには今の状況では時間がかかりそうですので、宜しく。