プラグインは保存先の変更設定ができるようなのですが、アドオンのプログラムのインストールにはなにも保存先を聞かれなかったため、どこに保存されているのかわかりません。
プラグインとアドオンは違うものなのでしょうか？

よろしくお願いします。

プラグインは外部のもの(wmpなど)をブラウザ上で実行できるようにするもの。
アドオンはFirefoxの機能を拡充するもの。
といった感じでしょうか。

アドオンはプロファイルフォルダ内のextensionsというフォルダにインストールされます。元となるxpiファイルは保存されません。必要なら別途、「右クリック→保存」(Windows)してください。
http://support.mozilla.com/ja/kb/Profiles

アドオンのインストール時に保存先を選択できるときと選択できないときがありますが、これはアドインのプログラムを作成した作者の仕様によるものなんですか？

　
サイト側の仕様によります。

たいていは Firefox で右クリックして「名前を付けてリンク先を保存」でローカルに保存できます
し、その保存先も選択できます。
サイト側の仕様によっては上記の保存ができない場合もあります。
　
　
＊質問の際はお使いの OS の種類、Firefox のバージョンぐらいは書き添えましょう。