EarlgreyTea です。(このフレーズ、コピペする価値ないよ)
私自身はFirefox の Flatpak リポジトリを確認できるLinux動作環境を持っていません。
したがって、以下は自分で確認して納得した話ではありません。
Firefox の Flatpak 対応に関心があるなら、下記メタバグ(関連するバグチケットを追跡するためのチケット)をウォッチしておくべきです。
Bug 1278719 [meta] Use Flatpak framework to distribute Firefox for Linux users
これに登録されているバグをざっと見て私は思ったのですが、お試しやブラウズするだけというライトな使い方ならいいですが、フルに Firefox を使うのであれば、Flatpak はしばらく様子を見た方がいい気がします。
Flatpak のアプリはサンドボックスで動作するようです。
起動する際も実行可能ファイルを直接起動するのではなく、
コード:
$ flatpak run org.mozilla.firefox
などとする必要があります。
サンドボックスで動作するので、直接ホストコンピューターのファイルシステムにアクセスできない制限があり、ファイルをダウンロードしても任意の場所には保存できないようです。
Bug 1703335 [Flatpak] when saving download, FF doesn't ask where to despite pref, or doesn't reliably save to that destination
プロファイルに関しても同様な制約によるものでしょう。