メッセージの 送信済みトレイ フォルダへの保存時にエラーが発生しました。再実行しますか？が表示され、送信メッセージが保存できません。
また、受信トレイや送信トレイのメッセージの削除もＣＯＰＹが失敗した旨のメッセージが
表示され、削除されません。


内容からThunderbirdの件と判断し、フォーラムを移動しました。
by Moderator

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Mozilla/5.0 (compatible; MSIE 9.0; Windows NT 6.1; Trident/5.0)

Thunderbirdの問題と仮定して書きます。
が、これだけだと全く要領を得ないので、もう少し具体的に書いて頂けますでしょうか。

使用しているOSの種類とThunderbirdのバージョン
いつから起こり始めたのか（何かきっかけとなるイベントがあったのかどうか）
どのような操作をした場合にエラーが表示されるのか
メールはPOP/IMAPのいずれなのか（IMAPっぽい印象がありますが…）
どこのメールアドレス（プロバイダの種類、フリーメールなど）で起きているのか
メールの設定（サーバーアドレスやポート番号など）はどのようになっているのか
など。

問題が起こっている部分が、
1）Thunderbirdそのものの問題
2）回線まわりの問題
3）そのほか
によって対処が変わってくると思いますが、とりあえず1)の切り分けとしては、Thunderbirdのセーフモード、新規プロファイルの適用など試すのをお勧めします。
Thunderbird のセーフモード | Thunderbird ヘルプ
複数のプロファイルを使用する | Thunderbird ヘルプ

2）については、ご使用の回線が固定回線なのかモバイル環境（LTE,WiMaxなど）なのか、有線/無線などで違いが出るかを見てみると、何かわかるかもしれません。

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Thunderbirdの基本を書いています(ずっと発展途上)　とりかごとなり。
基本の操作(画像あり)：バージョン確認　/ セーフモード / 新規プロファイル作成

私も以前発生していました。
原因はプロファイルの何処かが壊れていることだと思います。
というのは、Thunderbirdの再インストールを行っても復旧せず、別プロファイルでは発生しなかったためです。

私の場合、以下の操作を行って復旧したことがあります。
・メールフォルダで右クリック→「プロパティ」→「フォルダを修復」
私はその時には全部のフォルダを修復しました。

フォルダの修復をすると、表示されなかったメール(何故かメールの検索では出てくる)が表示されるようになったり、既読/未読などの状態が変化したりといった作用/副作用がありましたので、プロファイルのバックアップを取ってから実施したほうが安全でしょう。

試してみていただければと思います。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; rv:35.0) Gecko/20100101 Firefox/35.0

質問者ご本人からのレスがないのですが、一応補足しておきます。
現状問題となっている環境の具体的な状況がわからないままですが、もしローカルで起こっているのであれば、
このあたりの可能性が大だと思います。

しかし、もしIMAP環境で回線が不安定だったりすると、メールの送受信や保存を試みた時に
と怒られることがあります（実際に経験済み）。ですから、「POPかIMAPか」というのを伺いました。
※IMAPではメールボックス全体の同期をとるため

実際の使用状況がわかればもう少し精度の高い回答ができると思います。

それから、
こういう状況になってしまった場合は、もうバックアップ後に新規プロファイルへ移行したほうがいいように思います。
件名（スレッドペイン）とメール本体との整合性が取れていない状態に見えるので。

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基本の操作(画像あり)：バージョン確認　/ セーフモード / 新規プロファイル作成