「既読メールをタブで開いて連続して見る」動作そのものは可能です。
しかしその方法として、標準状態の Thunderbird では、メールツールバーのボタンを使ったマウス操作はできません。
ワンアクションで簡単におこなうにはキーボード操作になります。
【総論】
ご質問の動作は、おそらくメニューの [移動] -> [次へ] -> [メッセージ] および [移動] -> [前へ] -> [メッセージ] のことだと思います。
このメニューにある [移動] -> [次へ] -> [未読メッセージ] に対応するメールツールバーのボタンが、[次へ] ボタンです。しかし、[移動] -> [次へ] -> [メッセージ] に対応するメールツールバーのボタンは標準では用意されていません。(「前へ」も同様です。)
【各論 1 】
一般的には、メールクライアントは「書く」動作を伴うことからキーボード操作が必須なので、キーボード主体の操作系はよく使われます。その観点からは次の操作方法があります。
上記のメニューをたどると一目瞭然ですが、[移動] -> [次へ] -> [メッセージ] および [移動] -> [前へ] -> [メッセージ] にはキーボードショートカットが用意されています。
[移動] -> [次へ] -> [メッセージ] ―> [F] キー単独(Forward の F)
[移動] -> [前へ] -> [メッセージ] ―> [B] キー単独(Back の B)
あるフォルダ内の任意のメッセージをタブで開き、キーボードの [F] キー、[B] キーを押してみてください。未読・既読に関わらず、そのフォルダ内に存在するメッセージを順番にひとつずつ読み進め(戻れ)ます。
最後または最初に来るとそこで止まるだけで最初や最後を意味するサインは出ませんが、「既読メールをタブで開いて連続して見る」動作自体は可能です。
【各論 2 】
どうしてもマウスでツールバーのボタンを押下する操作にこだわるなら、アドオンを導入することでご希望がかなうかもしれません。
一例を挙げれば、
Toolbar Buttons では、数多くのツールバー用のボタンが提供さていて、その中に [移動] -> [次へ] -> [メッセージ] および [移動] -> [前へ] -> [メッセージ] に該当するボタンがあります。(「次へ」「前へ」の意味を逆転させる設定もあります。)
ただし、ほんとうに大量のボタンがあります。メールツールバーに置くか置かないかは自由に選べますが、これらは使わないものも含めて Thunderbird の起動時に読み込まれますので、そういう無駄を嫌う人には向かないかもしれません。
Custom Buttons は、自分で好きなようにツールバーのボタンを作れますが、それなりの知識が必要とされます。
他にも探せばあるかもしれませんので、ご自身で試してみてください。
なお、各操作におけるユーザーの "慣れ" を脇に置いて考えれば、Thunderbird のメッセージ閲覧方法にはけっこう自由度があります。
メールクライアントにおけるタブ機能は、ブラウザのそれとは異なる運用上の性質差があるため、個人的にはまだ発展途上だと考えていますが、それでもユーザーの工夫次第でメッセージの閲覧や活用のやり方は変えられるので、自分の用途に合った方法を開拓できる余地はあると思います。
とりあえず以上です。的外れだったらすみません。