Thunderbird Ver.31.5を使用していますが、1週間くらい前から、整理しておいた区分けフォルダから、メールが消えています。MozBackup等でバックアップ後、別のPCにThunderbirdに復元しても、全く、状況は、変わりません。どなたか、同じような症状から、復元できた方がいらっしゃれば、宜しく、お願い致します。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 6.0; WOW64; rv:36.0) Gecko/20100101 Firefox/36.0

その「1週間くらい前」よりも前は、どうだったのですか？
10年使い続けてきていて、1週間くらい前から起こり始めたのと、一ヶ月とか2週間とか前からThunderbirdを使いはじめて、1週間くらい前から起こるようになった、では、随分異なります。

Thunderbirdは、何もリクエストしていないのにメールを消すことは、しません。
メールの削除を行う、フィルターで移動、終了時にごみ箱を空にする、とかの、オプション設定等のあなたのリクエストによって行います。
こういった明示的な削除リクエスト以外にも、保管期限、のような、自動的な削除の設定もあります。
POP3で、サーバーに残す/14日後にサーバーから消す、とか、14日後にジャンクメールを消す、とか、フォルダープロパティーの保管期限(Retention Policy)、などです。

これらの設定で、何日か後に消すような設定を行っていませんか？
各フォルダーの「保管期限」の設定のデフォールトは、
フォルダーを作った時のThunderbird全体での「保管期限」のデフォールトの設定、か、
Thunderbird全体での「保管期限」のデフォールトの設定を使う、だったはで、
Thunderbird全体での「保管期限」のデフォールトの設定を、自動的に何日か後に消す設定にすれば、当然、色々なフォルダーで、自動的に何日か後に消すことが起こります。