※質問するときは、「フォーラムの利用に関するご案内」、とりわけ「質問するときは」に目を通し、OS の種類や Firefox のバージョンといった使用環境についての最低限の情報を書き添えることをお勧めします。横から失礼します。
日本語版では Firefox 36.0 から新しい検索インターフェイスが有効になりました。
従来の検索機能とは使い勝手に若干の違いがあり、その変化になじめないユーザーさんもおられると思います。
いちおう、従来スタイルの検索インターフェイスに戻す方法はあって、aides さんから紹介されているとおりです。
従来型に戻すことで満足できるなら、それも一つの方法です。
一方、新しい検索機能の利点を享受しながら、ご質問にある「この検索ボックスに入力していない状態で（add-on、カスタム等による）検索ボタンを出す方法」を実現するには、ユーザースタイルを使った次のような方法もありますので、紹介しておきます。
次のコードを書いた userChrome.css を、プロファイル内の所定の場所に置きます。
コード:
/* [検索バー] 内の検索実行（移動）ボタンを常時表示する */
searchbar[oneoffui] .search-go-button {
display: inline-block !important;}
（注）
＊検索関連のアドオンやツールバーを導入していない、Firefox 単体の [検索バー] に対して、動作を確認しています。
＊他にもっとスマートな（正確な？）指定があるかもしれませんので、いろいろ紹介していただけるとありがたいです。
【関連トピック】
Firefox 36.0 日本語版での新しい検索インターフェイスについて、このトピックにたどり着いた方は、次のトピックも参考にしてみてください。
（参考）・検索バーのドロップダウンの自動表示について
viewtopic.php?t=15337
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