環境はOS10.4.11です。以前のバージョンのFirefoxは使えてました。立ち上げるとDockで一度はねてすぐ消えます。同じようなご質問の回答を読みましたがターミナルにコマンドを入れて…どうのこうのが理解できませんでした。セーフモードでは起動しませんでした。しかし別のアカウントでログインすると起動します。申し訳ありませんがプロファイルマネージャを起動するうんぬんの事などもよく理解できませんでしたので,
詳しく教えて頂きたいのですが。

セーフモード起動は Option キーを押しながら Firefox アイコンをクリックしますが、それで起動しないという事でしょうか？ もしセーフモードで起動できないとなるとプロファイルが壊れてしまっているのかもしれませんが…

Firefox のプロファイルマネージャは、ターミナル.app を起動してプロンプトの後に下記コマンドをペースト、リターンキーを叩きます。

プロファイルマネージャが起動したら新規プロファイルを作成、そのプロファイルを指定して Firefox を起動してみてください。

余談：別のログインアカウントでログインした場合、Firefox はそのユーザのホーム内のプロファイルを使用するため、他のユーザの問題を引き継ぎません。もし別ユーザの環境でも Firefox が起動しないとすると Firefox 本体が壊れている、システムそのもの、またはインストールしているセキュリティソフトの問題などが考えられます。