*質問・投稿する前に フォーラムの利用について を読んでその内容を理解した上で
それに沿って投稿しましょう。
*ご自分の利用環境として OS の種類、Thunderbird の正確なバージョンぐらいは書
き添えましょう。
*質問した後やアドバイスをもらった後には結果や経緯を必ず書くようにしましょう。
Thunderbird に「受信Box」「送信Box」はありませんが、送受信したメッセージを同期させたい場合は
プロバイダ(ISP)が IMAP 接続をサポートしていれば、それを利用すれば可能です。
[参照]
IMAP による同期 | 操作方法 | Thunderbird ヘルプ
アドレス帳の同期機能は Thunderbird にはありませんので、アドオンなどを利用すれば可能です。