普通に考えて、IMAP4の環境では無いですか？
「受信出来ない」てのは、受信割り当てディスクがオーバフローしてるじゃないの？
「送信もできなくなった」てのは、BCCが受け取れない・・・確認出来ないでないの？

とりあえず、メールを整理しましょう・・・
POP3でもHDDが限界なら有るでしょ？

　
[quote="mitani"]初めて投稿します。[/quote]
投稿する前に以下をぜひ読んで踏まえていただけると助かります。
[color=#006600]＊質問・投稿する前に [url=http://forums.mozillazine.jp/faq.php?mode=forum]フォーラムの利用について[/url] をきちんと読みましょう。
＊環境として OS の種類、Thunderbird のバージョンぐらいは書き添えましょう。[/color]

[quote="mitani"]・・・・突然メッセージを受信しなくなったという状況です。[/quote][quote="mitani"]・・・・メッセージをダウンロードしに行きません。 [/quote][quote="mitani"]・・・・お手上げ状態です。[/quote]
まず、「何々できない」という状況を示す投稿は単なるレポートです。

[quote="mitani"]よろしくお願いします。[/quote]
質問ならばどうしたいのかを書かないと読み手に「質問であること」の推察・洞察・憶測などを
働かせるように強制が起き得ます。
（昨今の流行なのか、こういった表現が当たり前なのでしょうか・・・・・）
見知らぬ初対面の人にいきなり「何々できないんです」と言えば相手は驚きますよ。
あまりにもこういった傾向の投稿が多いのであえてお断りとして加えさせていただきます。

とりあえず以下のサポートサイトのドキュメントを参照して該当しないか確認してみてください。
[url=http://mozilla.jp/support/thunderbird/kb/002612]Mozilla Japan - Thunderbird サポート - ナレッジベース - メールの送受信ができない[/url]


[color=#006600]＊質問した後は結果や経過を必ず書くようにしましょう。[/color]
　

初めて投稿します。

昨日のお昼からメッセージが受信できなくなり、今日の夕方にはメッセージの送信もできなくなってしまいました。アカウントやオプションを変更した覚えはなく、突然メッセージを受信しなくなったという状況です。

また、サーバーにメッセージを取りに行っているようなのですが、しばらくすると消えてしまい、「このフォルダは処理中です。しばらくお待ちください。」とエラーが出た後はメッセージをダウンロードしに行きません。

タイムアウトの時間設定の問題か、セキュリティで保護されたパスワード認証でログオンするという設定の問題かもしれないのですが、お手上げ状態です。

よろしくお願いします。