横から失礼します。
利用環境として記載されている情報から推測して、Windows Vista 上の Firefox 34.0.5 から、Firefox のインストーラーをダウンロードなさっているのでしょうか。
当方の環境(末尾参照)で、試しに User Agent を
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.0; rv:34.0) Gecko/20100101 Firefox/34.0
に置き換えて
https://www.mozilla.org/ja/firefox/all/にアクセスし、日本語 + Windows 版のリンクをクリックしてみると、Firefox Setup 43.0.1.exe がダウンロードされました。
Mac や Linix では 44.0 のファイルがダウンロードされます。他言語でも Windows 版のリンクからは 43.0.1 がダウンロードされます。
(おそらく、これまで回答を寄せてくださったお三方の環境条件からは、Firefox Setup 44.0.exe がダウンロードできるはずです。)
上記のページをはじめ Mozilla 公式の Firefox インストーラーのダウンロードページは、サーバー側で動的にコントロールされています。
本件の現象が、意図した動作なのか、誤動作なのか、ぼくには断定できませんが
(*)、少なくとも現時点では、一定未満の環境条件からアクセスした場合に最新版のインストーラーがダウンロードできないケースがあるようです。
(*) User Agent の条件を細かく切り替えて試したわけではありませんが、個人的には誤動作っぽいと思います。仮にアクセス元の条件によって 44.0 を意図的に避ける理由があったとしても、43.0.1 であることの根拠が不明確ですし、現状でシステム要件に挙げられている環境からのアクセスに、変則的対応をする理由がわかりません。
現時点で、上記ページの日本語 + Windows の [ダウンロード] のリンク先 URL は、pal さんが書かれているとおりで、
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.0; rv:34.0) Gecko/20100101 Firefox/34.0
の条件でアクセスしても同様なのですが、リンクをクリックして実際にサーバーとのリクエスト=レスポンスがおこなわれると、43.0.1 がダウンロードされます。どうもダウンロードの実行に際し、?product=firefox-44.0-SSL&os=win&lang=ja のパラメータが、サーバー側で変更されてしまうような感じです。
【とりあえずの回避策】
(a)Firefox 以外のブラウザ(できるだけ新しいもの)でダウンロードを試みる。
(b)既存の Firefox の User Agent を一時的に変更してダウンロードを試みる。
(例)Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; rv:43.0) Gecko/20100101 Firefox/43.0
about:config から general.useragent.override (文字列型) を作り、
値を Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; rv:43.0) Gecko/20100101 Firefox/43.0 にする。
目的が果たせれば、この設定値はリセットしておく。
(注1)ざっと試した限りでは、"Windows NT
6.0" の部分が何かしらの影響を与えているようです。Firefox のバージョンより、"Windows NT
6.1" 以上に書き換えることを重視してください。
(注2)User Agent を変更しただけでは成功しない場合、[Ctrl] + [Shift] + [Del] などから履歴/キャッシュを消去してから再アクセスしてください。
とりあえず以上です。的外れだったらすみません。
(補足というか蛇足というか)
一般に、更新前後の Firefox のバージョンの開きが極端に大きい場合、既存のプロファイルで古いバージョンの Firefox を起動し、そのまま自動更新すると、仕様変更等の差を吸収しきれなくて不具合が誘発されやすくなります。とくに既存のプロファイルにインストールされているアドオンや、それまでにユーザーが施していたカスタマイズに、誤動作や表示乱れが起こる確率が上がります。
このようなときは、できれば自動更新ではなく、インストーラーをダウンロードしてプログラム本体を確実に更新したあと、新バージョン用の新しいプロファイルを作成したほうが安全でしょう。
ブックマークなど必要最小限のデータは、既存のプロファイルから新プロファイルに移行させることができます。一方、アドオンその他の任意の付加的要素は、新バージョンの表示状態や動作を理解した上であらためて最適なアドオンを導入し直すほうが、以後の動作の安定性に役立つと思います。
(これは、Firefox だけでなく Thunderbird にも通用する話です。新しいプロファイルへの引っ越しは Thunderbird のほうが敷居が高いのですが、その分、後でトラブルが起こった場合の深刻さも Thunderbird のほうが大きいので、ターニングポイントできっちり対処しておくほうが、総体的なリスクや負担を軽減できると思います。)