横から失礼します。

どのブラウザもそのシステムにおける「既定のブラウザ」になりたがりますが、「既定のブラウザ」というのはブラウザの機能ではなく OS が管理する機能ですね。
で、複数のブラウザを使い分ける必要はあるが、「既定のブラウザ」はある一種に固定し、他のブラウザがその座を奪うのを抑止したいというお話だと解釈しました。

[quote="anzu"]FireFox起動時に、既定のブラウザにしますか？のダイアログを表示させないようにできればと
思いますが、(ユーザに選択させない)プログラムの再ビルド以外に方法はないでしょうか。[/quote]
単純に、既定のブラウザに設定するか否かの問い合わせを Firefox の起動時に出させないようにするだけなら、プロファイル内に user.js を作って、
user_pref("browser.shell.checkDefaultBrowser", false);
と書いておけば、起動時の問い合わせを常に回避するようにはできます。

この設定内容は、Firefox のオプション設定の [詳細] -> [一般] -> [既定のブラウザ] にある [起動時に Firefox が既定のブラウザであるか確認する] の項目と同等です。
デフォルトではチェックが入った状態（有効）になっていて、browser.shell.checkDefaultBrowser , ture です。
チェックを外した状態が、browser.shell.checkDefaultBrowser , false になります。

仮に、Firefox 起動後に、ユーザーがオプション設定から [起動時に Firefox が既定のブラウザであるか確認する] にチェックを入れたとしても、次回起動時には user.js の指定が優先されるので、既定のブラウザにするかどうかの問い合わせは出ません。
オプション設定の [既定のブラウザ] の項目を、ユーザースタイル（userChrome.css）で非表示にしておけば、誤操作も防げるでしょう。

しかし、これは本当に初歩の初歩です。回避方法はいくらでもあります。

Firefox 起動後に、ユーザーがオプション設定の [起動時に Firefox が既定のブラウザであるか確認する] の下にある [Firefox を既定のブラウザに設定する] のボタンを押せば、そのまま実行されてしまいます。
あるコマンドラインオプションをつけて Firefox を起動させると、自動的に既定のブラウザに設定することができます。
Firefox をセーフモードで起動すれば、ユーザースタイルで非表示にしたオプション設定を表示することができます。
Firefox をリセットしてしまえば初期状態に戻せます。

Windows 7 Professional ならグループポリシーなどでシステムの設定変更に関して制限を設けられますので、そのあたりの対策は取られていると思いますが、状況によっては OS 側から既定のプログラムを操作することもできなくありません。Windows ならレジストリを直接編集することで任意の変更は可能です。
ご承知のように、「既定のブラウザ」（既定のプログラム）は本質的には OS 側の機能なので、個々のブラウザの働きを抑制しても OS 側で操作可能なら、どうにでもできるということですね。

そのシステムにおいて、特定のプロトコルやファイルタイプに対して自動的に選択されるのが「既定のプログラム」です。
一方、メールソフトやテキストエディタなどの個々のアプリケーションで、そこに記された URL を扱う際、どのブラウザを呼び出すかを個別に設定できたりします。OS の「送る」メニューに任意のブラウザを登録しておけば、そのブラウザで HTML ファイルを開くこともできます。
「既定のブラウザ」にこだわる理由が、"ある用途以外では Firefox を使わせたくない" だとすると、「既定のブラウザ」を固定したとしてもそれを回避して Firefox を使う方法はある、ということです。

知識があって、その気になったユーザーがいれば、けっこういろんなことができてしまいます。

もっとも、会社のガバナンスを理解させるべくきちんと従業員教育をしているのに、ブラウザごときでそこまで露骨に逆らう従業員は（普通は）いないと思いますので、ユーザーの誤操作や興味本位の操作への対策が主なのだとは思います。この場合、どの程度のハードルを設ければ十分だと管理者が判断しているかによって、基本方針や具体的対策が変わってくるように思います。

[quote="anzu"]・対象：All User (PC内は複数ユーザがログインできる環境だが、ユーザ名は固定)[/quote]
これは、OS レベルのユーザーアカウントはひとつだけで、そのアカウントを共用して複数の従業員が交代で作業する ―― といった意味でしょうか。
それとも、OS レベルのユーザーアカウントは利用者数分あり、個々のユーザーは自分のアカウントでログインするが、Firefox のプロファイルは All User に置いた一つだけで管理する ―― という意味でしょうか。

このあたりの前提条件によっても考慮する内容は変わると思いますが、どちらにしても Firefox の場合、その機能を制限したり、逆に追加したりするのは、基本的にプロファイルの管理に直結しています（「プログラムの再ビルド以外」では、ですね）。
すでにご覧になっておられると思いますが、下記とそのリンク先を理解しておくことは、どんなケースにおいても一番重要な急所です。
・プロファイル | Firefox ヘルプ
https://support.mozilla.org/ja/kb/profiles-where-firefox-stores-user-data

合わせて、法人向けに次のような集中管理も使えます。規模や要求内容によっては、こちらの選択もアリかもしれません。
（kiki さんが紹介されているブログ記事の中にも書いてありますが...。）
・Mozilla 製品の集中管理 - 基本編
https://developer.mozilla.org/ja/docs/MCD/Getting_Started

雑駁ですが以上です。的外れな話になっていたらすみません。

　
[color=#006600]＊質問・投稿する前に、サポートサイトやヘルプ、このフォーラム内を検索・閲覧し
　て、該当項目、同類・類似事例がないか、確認してみましょう。
　また、広くインターネット上でも、同類・類似事例がないか、調べてみましょう。
＊質問・投稿する前に [url=http://forums.mozillazine.jp/faq.php?mode=forum]フォーラムの利用について[/url] をしっかり読んで、その内容を理解
　した上で、それに沿って投稿しましょう。
＊質問した後やアドバイスをもらった後は、放置せずに、結果や経緯を必ず書くよう
　にしましょう。
＊ここは、相互ユーザサポートを通じて、各種情報・事例を、ユーザ同士でシェアす
　る場でもあります。[/color]
　
　
以下の過去トピックを参考にされてください。

[参照：過去同類事例の過去トピック]
[url=http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?f=2&t=10816]MozillaZine.jp フォーラム - 既定ブラウザの設定と例外サイトの追加を自動でする方法[/url]


参考資料として、通読をお勧めするものは、以下などがあります。

[参照：資料ドキュメント]
[url=http://kb.mozillazine.org/Setting_Your_Default_Browser]Default browser - MozillaZine Knowledge Base[/url]
[url=http://www.clear-code.com/blog/2014/3/27.html]Firefox・Thunderbirdの組織内向けカスタマイズの方法の簡単な紹介と比較 - ククログ(2014-03-27)[/url]


法人・企業・団体組織などでは、独自の事情から、独自のカスタマイズの必要性が生じます。
また、それらの事情・理由や、システムのセキュリティの観点からも、このフォーラムのような
パブリックな場ではなじまない、ふさわしくないケースも多々あります。
法人向けサポートも、検討課題の中に入れてみるのをお勧めします。

[参照：お勧め]
[url=http://www.mozilla.jp/business/support/]Firefox と Thunderbird の法人向けサポート | 法人向け情報 | Mozilla Japan[/url]


【大きなお世話】
製品名は、FireFox ではなくFirefox です。
固有名詞の表記（記述）にも気をつかってくださいね。

スタート～既定のプログラム～既定のプログラムの設定

此処で既定のブラウザを選択出来ませんか？
と云うよりも、本件はWindowsの使い方の案件です。

[quote="anzu"]･ユーザはインターネットオプションは開けない。⇒ FireFoxを既定にした場合、IEを自力で既定に戻せない。
FireFox起動時に、既定のブラウザにしますか？のダイアログを表示させないようにできればと思いますが、(略)[/quote]
「起動時に常に確認する」のチェックがしてあれば、Internet Explorer 8の起動時に、「Internet Explorerは、既定のブラウザーとして設定されていません。」と表示され、そこで「はい」ボタンをクリックできるのですが、それではダメなのですか？

こんにちは。
今、社内PCに特定サイト閲覧のため、FireFoxをインストールする話があるのですが、
既定のブラウザにしないようにする方法を模索しており、相談があります。

以下、条件です。
・OS:Win7 SP1
・Browser:　IE8 , Firefox29.0.1
・IEを既定とするようにダイアログ制御する(FireFoxを既定のブラウザにしない）
・対象：All User (PC内は複数ユーザがログインできる環境だが、ユーザ名は固定)
･ユーザはインターネットオプションは開けない。⇒ FireFoxを既定にした場合、IEを自力で既定に戻せない。
・FireFoxインストール方法：runasで管理者権限でサイレントインストール

FireFox起動時に、既定のブラウザにしますか？のダイアログを表示させないようにできればと
思いますが、(ユーザに選択させない)プログラムの再ビルド以外に方法はないでしょうか。

なお、上記が制御できない場合は、レジストリを読み取り
既定ブラウザが異なる場合は、書き換えて運用回避をしようかと考えてます。