[quote="kawak"]４．トラブルシューティングでFirefoxを初期状態に戻すのボタンがあったので戻してみた。[/quote]
念のため。

初期状態に戻したのであれば、ダウンロードしたファイルが保存される場所はダウンロードフォルダになります。
保存先がデスクトップに設定されているか確認を。
[url=http://support.mozilla.org/ja/kb/Options%20window%20-%20General%20panel]設定ウィンドウ - 一般パネル[/url]

Firefoxウイルススキャンを無効にしたらダウンロードフォルダーには保存できましたが、相変わらずデスクトップフォルダーには保存できません。

横着せずに全部確認してください。
でないと、解決できませんよ。

お世話になります。次をやってみました。
１．履歴を消去・・・・履歴にはなにもない
２．別のフォルダーを作る・・・・ダメ
３．browser.downlord.dir,browser.downlord.folder.list,browser.downlord.manager.retentionをリセット・・・・だめ
４．トラブルシューティングでFirefoxを初期状態に戻すのボタンがあったので戻してみた。・・・・だめ
すべてを戻すとしてありましたので以降はテストしていません。

とりあえず、下記各項目のチェックを。

[url=http://support.mozilla.org/ja/kb/Unable%20to%20download%20or%20save%20files]ファイルのダウンロードや保存ができない[/url]

Firefox13.0.1でVectorからダウンロードしようとしたらダウンロードのメッセージは出るのですが保存できていません。
OS:Win Vista HP　ダウンロード場所：デスクトップ
同じことをIEで試したところ正常に保存できています