すみません。試してみたところ、他のアドオンが原因で消えていたようです。

ありがとうございました。

Firefox標準の「検索」「次を検索」でも再現する問題なのでしょうか？

おっしゃっている「検索バー」というのは、右上にある「検索窓」のことでしょうか？
http://support.mozilla.com/ja/kb/Search%20bar

だとしたら、ここから、ページ内検索はできません。
したがって、
[quote]今までだと検索バーにて検索した後も、バー内の入力内容は残っていたので、そのままページ内検索ができた[/quote]
というのは、何らかのアドオンによるものと推測されます。

そうだとすると、そのアドオンが、Firefox 8に(きちんと)対応していないために、
[quote]今回から一度Googleサイト内の検索ボックスに入力内容が移り、検索バー内の内容が消えてしまう[/quote]
となったのでしょう。

[color=green]※質問の際にはご自身の環境（OS、Firefoxのバージョンなど）を明示して頂くようにお願いします。
※また、不具合がいつから始まったものなのか（アップデート直後、アドオン追加後、など）の情報も
あると問題点を絞れると思います。[/color]

本題です。
[quote="K"]今までだと検索バーにて検索した後も、バー内の入力内容は残っていたので、そのままページ内検索ができたのですが、今回から一度Googleサイト内の検索ボックスに入力内容が移り、検索バー内の内容が消えてしまうため、検索した後、入力ワードをコピーして貼り付ける必要があり、非常に不便です。 [/quote]
Windows 7　SP1 64bit+Firefox8.0と、OS X 10.6.8+Firefox8.0で確認してみましたが、
再現しません。
Googleの検索ボックスと、検索バーの両方に入力ワードが保持されています。

SearchWP（2.5.0)をインストールした状態でも試してみましたが、問題なく
入力ワードが表示されています。
[img]http://img844.imageshack.us/img844/84/searchnd.png[/img]

もし他にアドオンなど追加されているようでしたら、それらの影響も可能性として
考えられるので、一度セーフモードや新規プロファイル作成でも検討されることを
お勧めします。
[url=http://support.mozilla.com/ja/kb/Safe%20Mode?s=%E3%82%BB%E3%83%BC%E3%83%95%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%89&r=0&as=s]セーフモード｜操作方法｜Firefoxヘルプ[/url]
[url=http://support.mozilla.com/ja/kb/Managing%20profiles?s=%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB&r=0&as=s]プロファイルの管理｜操作方法｜Firefoxヘルプ[/url]

特にページ内検索系アドオンを使う上で問題になってくるかと思いますが、
（SearchWP等）

今までだと検索バーにて検索した後も、バー内の入力内容は残っていたので、そのままページ内検索ができたのですが、今回から一度Googleサイト内の検索ボックスに入力内容が移り、検索バー内の内容が消えてしまうため、検索した後、入力ワードをコピーして貼り付ける必要があり、非常に不便です。

なんとかならないでしょうか？