拡張の問題とFirefox本体の問題は切り分けで考えます。
ツールバーの内部の問題ならGoogleの問題ですから。

自己解決しましたので自己レスします。

これはファイアーフォックスがグーグルツールバーを使えないということではないようです。
下記に回答がありました。他にも同じ内容で困る人が出てくるかもしれないので貼っておきます。
http://rai10mypace.blog51.fc2.com/blog-entry-179.html

* [url=http://www.google.com/support/toolbar/bin/answer.py?hl=ja&answer=1342452]Firefox 5 以降のバージョンではツールバーをご利用いただけなくなりました : インストールとアンインストール - ツールバー ヘルプ[/url]

一応Firefoxでは5からはGoogleToolBarはフォローされてません。

ご利用のFirefoxのバージョンは？

GoogleツールバーはFirefox 5以降には対応していません。

頻繁には使っていない新パソコンでツールバーにログインしようとしたら、ログインできません。
ドキュメントやＭＡＩＬは使えるというのに・・・・。ブックマークだけ使えないのです。
ちなみにＩＥでは普通にログインできました。検索エンジンで調べまくっても中々打開策が見つかり
ません。宜しくお願いします。