横から失礼します。
（昨日投稿しようとしたとき、スパム判定されて投稿できなかったため、具体的な記述を省いて文面を書き直しました。）
（前提）スタイルシート（CSS）は、サイト側が用意し、アクセスしてきたブラウザに対して、「このスタイルを使ってくれ」と指示を出します。ブラウザはその指示に従ってべージ画面をレンダリングして表示します。
スタイルまわりの指定はいくつかの方法があり、サイトによって使っている方法が異なります。
（既出情報から推測できる事柄）「61.0.2では正しく表示されます」ということから、Firefox 62.0 で追加・修正・削除された何かしらの条件が、当該サイト（orange-book．com）の表示に影響している可能性は高いと思われます。
（参考）
・Firefox 62 サイト互換性情報
www.fxsitecompat.com/ja/versions/62/この場合、２つの方向性が考えられると思います。
（a）Firefox 62.0 で入った変更に間違いがあったケース。この場合は、Firefox 側のバグということになります。以後のバージョンで修正されなければなりません。
（b）Firefox 62.0 で入った変更に間違いはなく正しく反映されたケース。この場合は、当該サイトの既存ソース（HTML 、CSS、 JavaScript 等の関連）が変更内容にかみ合わなくなり、Firefox 62.0 では不適切な表示や動作になっていることになります。通常、サイト側の修正で問題は解決されます。
ここで、とくに（b）の要件に大きく影響してくるのが、aides さんと EarlgreyTea さんからご指摘がある点です。
推奨環境が Microsoft のブラウザだけ（＝他のブラウザは考慮しない）というサイトは他にもありますが、こうしたサイトは推奨ブラウザで正常に動作・表示することを目標に作られているので、他のブラウザの事情が考慮されることはほとんどありません。
単純なページ閲覧だけなら、たいていのブラウザで大過なく表示できると思いますが、サイト側の提供するソースが特定のブラウザ向けに特化されていればいるほど、それ以外のブラウザでは些細な変更でも正しく動作・表示しなくなることがあります。
一方、Firefox 62.0 でも、当該サイト以外では問題なくサイト側が指示したスタイルで表示されるのなら、Firefox 62.0 で入った変更が Web サイト全般に影響している可能性は低く、当該サイトの特殊性の方に問題がある可能性が高くなります。
Firefox は、「Web 標準」を標榜して開発されています。過去の遺産的なものや、他のブラウザとの当面の互換性のために、非標準な仕様が残っている部分はありますが、バージョンアップごとに「Web 標準」に則った方向性で修正がおこなわれるようになっています。
粗っぽい言い方になりますが、Firefox 61.0.2 までは残っていて、62.0 で修正または削除された非標準な要素があった場合、サイト側がその非標準な仕様のソースを投げてきても、Firefox 62.0 ではそれに反応しないようになります。
上記 Firefox 62.0 の変更点をふまえ、とくにスタイルシートの提供方法に関する当該サイトのソースを詳しく調べてみると、具体的なことが見えてくるかもしれません。（現在のぼくには、そこまでやる余力はありませんが......。）
トトの助 さんが書きました:
このサイトでは標準スタイルシートの下に文字サイズ小 文字サイズ中 文字サイズ大の項目が表示されます。（他のサイトでは表示されません）この辺りの処理に問題があるのか、それとも、サイト側の記述の問題なのか、
Firefox の [表示] -> [スタイルシート] に、文字サイズの大・中・小が表示されるのは、サイト側でそのようなスタイルを提供している場合に表示されるものです。サイトによっては、複数の切り替え用スタイルを提供しているところもあります。
（一例）forum.mozilla.gr.jp
こうした表示自体は普通にあることなので、orange-book.com のサイトだけが特別だとはいえません。しかし、どういうソース群の構成でその機能を提供しているかによっては、ご質問のようなことが起こる可能性はあると思います。
とりあえず以上です。的外れな話だったらすみません。
（余談）
本題ではありませんが、気になる点があったので......。
当該ページ（トトの助 さんがご提示の URL）は、ログインフォームを持っていて、[ログイン] のドロップダウンから ID や パスワードを入力して、そのページからクイックログインできるようです。（ぼくは登録ユーザーではないので、実際にログインの動作を試したわけではありませんが...。）
問題は、それが http のアクセスで可能になっていることです。最新の Firefox や Google Chrome などのブラウザでこのクイックログインを使用する際には、セキュリティの警告が出ると思います。
ただし、単純に [ログイン] ボタンを押せば、https のログイン専用ページに遷移します。トップぺージも https でのアクセスは可能です。当該サイトの登録ユーザーは、https でログインするほうがいいでしょう。
（おことわり）
現在、健康上の制約により不定期な書き込みしかできなくなっています。すぐに応答できない場面がかなり多くなりますことを、ご容赦ください。
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