件名の通りの症状が発生しました。
OSはXPSP3でMS-IME2002です。
他の掲示板でも少数ですが、同じ様な問題が発生しているようです。

IMEの直接入力以外、変更も出来なくなっています。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 5.1; rv:35.0) Gecko/20100101 Firefox/35.0

Firefox 36にしただけで全部の人の所でそうなってしまったら、今頃大騒ぎになっているはず。
FirefoxのURLバーなどのUIの全ての入力フィールドや全てのサイトの全ての入力フィールドで問題が起こるのですか？
新規プロファイル、現行のプロファイルで-safe-mode、でもおこるのですか？

ある特定のサイトの一部の入力フィールドだけ、という場合、どのようなサイトですか？
複数のところで起こる場合、問題が起こる場所に、何か共通点はありますか？

このフォーラムには、すぐ最近のものに、
「Facebookでの文字入力が一部うまくいかない」
http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?f=2&t=14854
があり、その中には、以下のトピックへのリンクもあります。
「Firefox使用時にニコニコ生放送で辞書登録した機種依存文字の変換が出来なくてコメント投稿出来なくなった」
viewtopic.php?f=2&t=15037&hilit=ime

こういったものを参考になさいましたか？
上記二つのトピックと共通点はありますか？　それとも、全く異なる問題ですか？

Bug 1138070 - Unable to enable Japanese IME on Windows XP SP2
https://bugzilla.mozilla.org/show_bug.cgi?id=1138070

Windows XP SP3では問題ないようです。また、Social IMEでも問題ないようです。

自分も同じ症状になりました。
何をしても直らず、結局、35.0.1にVerダウンしたら一発で直りました。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 5.1; rv:35.0) Gecko/20100101 Firefox/35.0

自分も36にしたら日本語入力ができなくなって困っていたのですが
こちらでverダウンで直ったとの事を見て
35.0.1にしてみたら一発で直りました！
ありがとうございます。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 5.1; rv:35.0) Gecko/20100101 Firefox/35.0

firefox36.0.1への更新で入力可能になりました。
みなさんありがとうございました。