Firefoxで画像や動画などをダウンロードして、任意の場所に保存しても
ファイルの容量が0Kbととなり、表示や再生ができません。どうしてでしょうか？

先ずはこのフォーラムのルールをしっかりとご理解いただいた上で、情報の開示をお願いいたします。

Firefox にはファイルダウンロード時に自動的に、その PC にインストールされているウィルススキャン・ソフトを呼び出して
ウィルススキャンを実行させる仕組みになっています。
ダウンロードしたファイルのサイズが 0 になっているのは、ウィルススキャン・ソフトによってウィルス感染ファイルとして判定された結果です。

先ずは、ウィルススキャン・ソフトのサポートをお受けになってみて下さい。
それでも解決しない場合には、Firefox とウィルススキャン・ソフトの連携を無効化する手段を取ることになるかと思います。
Firefox 設定のウイルススキャン機能を無効にする
但し、この処置を取った場合にはダウンロードファイルの事後ウィルスチェックをお忘れにならないように。

　補足です。必ずしもそういうわけでもなく、一部のウイルス対策ソフト が/に Firefox が対応していないため、スキャン時にダウンロードファイルが消えてしまうと言うことが症状としてまれに報告されたりすることも...。
　また、Firefoxのこの機能を切ったとしても、ウイルス対策ソフトが適宜にアップデートされ、常駐されていて正しく動作していれば、Firefox 設定のウイルススキャン機能を無効 にしても良いと思います。

[補足の補足]
怪しいファイルは VirusTotal と言うのを使うのもオススメです。
http://www.virustotal.com/jp/