ログイン式のサイトで「自動ログインをする」に設定しても、
次回Firefoxを立ち上げサイトを表示すると、また未ログイン状態になってしまいます。

ツールのオプションでクッキーの保存やパスワードの保存はおこなっているのですが、ダメです。
どうしたらログインしたままでいられますか？

質問されるときには、お使いのFirefoxやOSのバージョンを書き添えるようにお願いします。

問題のサイトにログインしてから、設定のプライバシータブを開いてください。
まず確認したい点はCookieの保持期限をFirefoxの終了までにしていないかです。
下記でいうところのKeep Untilの箇所です。

そこが問題なければShow Cookies…から件のサイトのCookieのExpiresを確認してください。
それがAt end of sessionとか今日の日付とかになっている場合は、サイト側の仕様だと思います。
あとは、Firefoxの終了時にCookieを全て削除するようにする設定があったと思います。
それも問題なければどれかの拡張が悪さをしているのかもしれません。

yahoo等では設定をしてても「サイト」がさせない場合も在ります。
何処のサイトの事ですか？

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＊Windows 10 21H1 64bit/＊GoogleJapaneseInput：ATOK2017：MS-IME
Firefox 95.0：Beta 96：Developer Edition 96：Nightly 97.0a1：
Thunderbird 91.4.0：Earlybird 96：Daily 97.0a1：SeaMonkey 2.53.10/2.58a1：
Opera 82.0.4227.23：Google Chrome 96.0.4664.93/98.0.4756.0（Official Build）canary：
SRWare Iron 96.0.4900.0：Lunascape 6.15.2：Avant Ultimate 2020 build 3, 3.17.2020