質問したいのは、アカウントにローカルフォルダというものができていました。

アカウントの設定をクリックしてみると、本来のアカウント〔ここでは”Ａ”として〕はあります。
アカウントの設定には、Ａとローカルフォルダの二つがあります。

メールアイコンをクリックすると全てのフォルダに表示されるのはローカルフォルダという
文字で、Ａの名称は出てきません。しかし、受信トレイなどのトレイはＡのものが入っています。

メールはＯＥを使っていました。昨日Thunderbird 3.0.1をインストールしたところ、ＯＥのアイコンをクリックするとThunderbirdが起動するようになりました。

もしローカルフォルダ配下に「受信トレイ」があるのならば A アカウントはローカルフォ
ルダ内に含まれている（統合されている）ことになります。

OE (Outlook Express) のアイコンで Thunderbird が起動するのはおかしいですね。 ショートカットをよく見直してみてください。