auやdocomoの絵文字を拡張機能で見られるようにすることはできますか?

au については知りません。

auでも問題は無いです。
内臓フォント部分は、ほとんどのキャリアで共通化されてます。

ま、独自の進化をした携帯電話・・・世界的に見れば、日本は携帯電話のガラパゴスです。
PCが携帯電話に合わせるのは、無理がありますよね？

日本語環境の文字コードは以前は JIS X 0208 という独自規格がベースで、 Unicode なんか無理という人も以前は多くいたものですが、PC でのメジャーな OS はすっかりみんな Unicode ベースになってしまいました。(このフォーラムも Unicode ベースである UTF-8 になりましたね。)
絵文字についても、今は無理だとしても、絵文字も Unicode に含めようというプロジェクトも立ち上がっていますし(上記の表はそのプロジェクトのものです)、そのうちなんとかなるんじゃないでしょうか。(楽観視しすぎ？)

ただ、Windowsをお使いの方も注意して下さい。
VistaとXPで使ってるフォントが違います。
「もりおうがい」がよい例だと思います・・・知ってますよね？？
Microsoftから追加フォントも出て居ますので、導入を検討して下さい。