Mac OS 10.56でThunderbirdバージョン 2.0.0.19を使用しています。
下記にチェックを入れているのですが有効になりません。何か原因があるのでしょうか・・

Dockのアイコンをバウンドさせる
新着メッセージがないか [10] 分ごとに確認する
新着メッセージを自動的にダウンロードする

Power Mac G5/Mac OS 10.5.6 環境の Thunderbird 2.0.0.19 と Thunderbird 3 Beta1 で、6つの Gmail (POP と IMAP がそれぞれ３つづつ) ですが両方とも「Dock のバウンド」「新着メッセ−ジ確認（デフォルト分）」はきちんと動作しますよ。
「自動的にダウンロード」は使わないので確認していませんが、たぶん問題なしかと。
ただ、Thunderbird 3 beta 1 の IMAP で設定したアカウントでは、Dock でのバウンドは一回だけみたいです（2.0.0.19だと違うのかな？？）

で、問題ですが、拡張機能やテーマはインストールされていますか、また Thunderbird をセーフモード起動しても再現しますか？
Thunderbird 2.0.0.19 リリースノート トラブルシューティング

ついでにこれも・・・。
不具合診断チャート - もじら組Wiki
　

補足ありがとうございます。
この２つは、セットでトラブル時の初期参照先として、何処かに書いておいた方が良いですね。

• Thunderbird 2.0.0.19 リリースノート トラブルシューティング
• 不具合診断チャート - もじら組Wiki