昨日までは現れなかったのですが、本日になってメールを送信するときに、Website Certified by an Unknown Authority 題するメッセージウィンドウが現れるようになり、確認を求められるようになりました。

そのウィンドウでの書き出しは、「Unable to verify the identity of smtpauth.hosting.earthlink.net as a trusted site.」とあり、その後にもメッセージが続くのですが：
http://www.yakpost.net/renewSSLTB.php
↑　このサイトにある画像イメージとほぼ同じものです。

Earthlink に問い合わせても、よく分かりませんでしたが、昨日まで現れなかった事象ですし、自分で何か設定を変更したようなこともないので、「Accept this certificate permanently」を選んでも問題ないかと思うのですが、このフォーラムで同じ事象を経験された方がいらっしゃれば、アドバイスなどいただければと思い、投稿させていただきます。宜しくお願いいたします。

（今、ふと思い出したのですが、この事象が起こる前と起こった後との間に、Windows Updateがコンピュータ起動時に自動的に行われたような気がします。それが関係しているのか・・・。）

証明書関係で「昨日まで現れなかった」となると考えられるのは次のようなものです（上ほど可能性が高い）。

1. 証明書の有効期限が切れた
2. 何らかの理由で smtpauth.hosting.earthlink.net の証明書が無効とされ CRL リストに載った
3. サーバ側で証明書を更新したが、実はオレオレ証明書だった

1. の可能性が高いと思うので、まずはダイアログの "Examine Certificate" から Expired（だったと思います）を確認してみてください。

Cai さん、ありがとうございます。1.の件を確認してみましたが：

Validity
Issued On 8/6/2008
Expires On 8/7/2011

となっており、まだ期限切れではないようです。

確認ありがとうございます。
earthlink のサポートを見てみたのですが、SMTP では SSL/TLS は必要ないようです。
なので、本来は証明書を検証することもないはずです。
送信サーバの設定はどのようになっていますか？

Earthlink のサポート情報まで見ていただいて、ありがとうございます。そこでの情報と私の設定を比べて、違いとして気づいたことが２つあります：

【１】Server Name
サポート情報：　　　smtpauth.earthlink.net
私の設定：　　　　　 smtpauth.hosting.earthlink.net

【２】Use secure connection
サポート情報： No
私の設定：　　　　　TLS, if available

実は、昨日も Earthlink のサポート担当者の人とチャットで、この件について聞いてみたのですが、その際に上記2つのことも含めた私のサーバー設定情報も伝えました。しかし、設定を変更するようにとかのことは言われず、現在の設定で OK といわれました。

もしかしたら、サポート情報にあるように、【２】を No にしたほうが良いのでしょうか。 TLS, if available となっているのは、私がそのように設定したのか否か、定かには覚えていないのですが、 Thunderbird をインストールして最初にウィザードで Account 設定していくときは、特段指定しない限り、デフォルトで No でしたでしょうか。 No にすることで懸念される問題のようなことはあるのでしょうか（逆に、 TLS, if available にすることでの利点とか欠点とか）。このようなことに精通しておらず、 TLS 、 SSL といったことがよく分かっておりませんで、すみません。

TLS, SSL はサーバまでの通信の暗号化の方式を意味します。
もともとメールの仕組みとして通信経路は平文（暗号化されていない）であり、パスワードを含めた全ての情報が生のまま流れています。
セキュリティ上の理由から、これを暗号化するために用いられるのが TLS, SSL です。

で、新規アカウントを作成すると初期設定では TLS, if available となるはずです。
「利用可能であれば（サーバが対応していれば） TLS による暗号化を行なう。ダメなら平文で」という設定です。
通常ならこれで問題ないはずですが、サーバ側の設定がおかしいとここで失敗するのかもしれません。
サポートにあるように、Server Name を smtpauth.earthlink.net、Use secure connection を No にして試してみてください。