Gmailで送信したメールがThunderbirdでは全て受信Boxの中に受信したメールと一緒に入ってしまうのですが、何らかの方法で、受信したメールは受信Box、送信したメールは送信済みBoxに入れることはできますか??

質問の際は、お約束事があります。
あなたの環境( OS および Thunderbird のバージョン)を明示して下さい。
以下リンク先を一読下さい。
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また、類似事例がないか、このフォーラムの 検索 機能を利用してみて下さい。
今回の場合、"Gmail" のキーワードで検索。

で、以下のトピが参考になるのでは。
MozillaZine.jp :: トピック - 送信メールが受信トレイに入ってしまいます。

Gmail に限らず一般的に Web 上から送受信したメッセージはメールクライアントで POP
アクセスする場合は新たに受信することになります。
ですから受信トレイに Web 上で送受信したメッセージがダウンロードされるのが通常です。

Thunderbird で Web 上の各フォルダとメッセージの保管状態を同じようにしたいのなら
Gmail の IMAP アクセスを利用して「同期」すれば可能です。