全くメールが来てないのに、起動するたびに
新規メール受信通知のアラームが鳴り、
必ず「ローカルディスクに２通の新着メッセージがあります」と表示されます。
ローカルフォルダを開いてみても、メールは来ていません。

なぜでしょうか？ご教授よろしくお願いいたします。

お使いの Thunderbird のバージョン、OS の種類を。
その現象が出るようになった前後の情報を。

受信トレイの「最適化」又は「フォルダの最適化」をしたらどうなりますか。
受信トレイを右クリックして「プロパティ」を選択して「一般情報」 > 「牽引を再構築」で
どうなりますか。