ある日突然、これまで正常に表示出来ていたHTMLメールがテキスト形式で受信されるようになりました。
リモート画像を表示しますか？などの表示もなくなりました。

またメール本文がタイトルと違っていたり、同じタイトルのメールが同時刻に受信されていて
片方は正常、もう片方は本文がまったくないか、全然別の内容になっていたり、とおかしなことになっています。

フォルダの最適化や受信ボックスの整理なども行いました。
一度、INBOXなんとかを削除するようにとの警告メッセージが出ましたが、その削除の仕方がわからず
それはまだ行っていません。

プロファイルというのはどこから探してくればよいのかわからず困っています。
ファイル検索をしても　inbox.msf　というファイルは出てきません。

Windows XPですよね。
C:\Documents and Settings\[ユーザ名]\Application Data\Thunderbird\Profiles\xxxxxxxx.defaultとたどって下さい。
xxxxxxxx.defaultというフォルダの中にMailフォルダがありその中に各アカウントのフォルダがあります。
(xxxxxxxx はランダムな文字列)
各アカウントのフォルダを開くとInbox.msfというファイルがありますので、
それを削除してThunderbirdを再起動すると新規にInbox.msfを作ってくれます。
拡張子の無いInboxは"受信トレイ"の中身なので絶対に削除しては駄目です。