3日前から急に送信トレイに送信済みのメールが表示されなくなりました。

サンダーバードの検索タブから件名などを検索すると、
送信済みのメールは表示はされる状態です。

似た事象で下記内容を見つけ、購読設定を行ってみたものの、

フォルダーのメッセージリストに表示されなくなったけど、検索ではヒットするということですね。
ちなみに「検索タブ」というものはありませんが、その検索は下記のうちどれになるでしょう。

もしかしてアカウントの種類はIMAPでしょうか。
その場合、どこのメールサービスをご利用なのかも（可能ならば）教えてください。

・送信済みトレイの検索バー（すみません、どれに当たるのか分からず...）

ご教示頂いた通り「フォルダーを修復」しか手段はなさそうですね..。

バックアップ作業も完了いたしました。
一点確認なのですが、こちらのデータには自分が相手に送信したメール内容のデータも
保存されている認識でよろしいでしょうか。

メールサーバーはカゴヤになります。

たぶんクイックフィルターバーのことを指しているかと思います。

「フォルダーを修復」は要約ファイルを再生成するものです。
メッセージデータ本体には何もしませんので安心して行ってください。
（メッセージデータ本体に対する操作は「最適化」の方です）
また、これで解決すると決まったわけでもありません。

送信済みトレイを右クリック > プロパティ > データの修復
データ修復の際に2000件のプロパティに対して300件ほどしか完了？されていなかったようです。
※こちらクライアント様から状況をお聞きし、書き込んでおりますので正確な情報をお伝え出来ず申し訳ございません。

「データの修復」ではなくて「フォルダーを修復」ですね。
メールデータ自体は修復しません。やっていることは要約ファイルの再生成です。

air_tr さんが問題の当事者ではないとのことで、情報の正確性は期待できないということになるのでしょうか。
一応素直に解釈すれば、フォルダーを修復実行前は対象フォルダーのプロパティ＞一般情報のメッセージ数が2000だったが、
実際に処理された件数（どこで確認されたのかは不明ですが）は300件ほどだったということになります。