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Mozilla/5.0 (Windows NT 6.3; WOW64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) coc_coc_browser/68.4.190 Chrome/62.4.3202.190 Safari/537.36

ツール～アカウント設定～サーバー設定～サーバー設定

此処に自身で提示された案件の解決方法が設定可能です。

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＊Windows 10 21H1 64bit/＊GoogleJapaneseInput：ATOK2017：MS-IME
Firefox 95.0：Beta 96：Developer Edition 96：Nightly 97.0a1：
Thunderbird 91.4.0：Earlybird 96：Daily 97.0a1：SeaMonkey 2.53.10/2.58a1：
Opera 82.0.4227.23：Google Chrome 96.0.4664.93/98.0.4756.0（Official Build）canary：
SRWare Iron 96.0.4900.0：Lunascape 6.15.2：Avant Ultimate 2020 build 3, 3.17.2020

メニューバーを使っていない人にはそれでは伝わらないかと思われます（≡メニューの「ツール」にはないので）。
アカウント設定に行くには、≡メニューであれば、「オプション」 > 「アカウント設定」です。
または、左側のフォルダペインでアカウントを選択すると右側にアカウントのページが表示されるので、「このアカウントの設定を表示する」をクリックします。これが感覚的にしっくり来るでしょう。

さて、geralde.givens さんの書きぶりから察するに、意識してアカウント設定をした感じではないため、デフォルトの IMAPの設定になっているのだろうと思います。
（参考： IMAP を使用して他のメール クライアントで Gmail をチェックする - Gmail ヘルプ ）

IMAPは基本的にメールサーバ上とクライアント（Thunderbird）上のメールを同期します。
という運用をしたいのならPOPのほうがいいでしょう。
（参考： POP を使用して他のメール クライアントで Gmail のメールを読む - Gmail ヘルプ ）

Thunderbirdはメールをダウンロードするだけで、それとは無関係に過去メールを他の端末等から見るには、Gmail側で「Gmail のメールを受信トレイに残す」に設定しておくことが重要です。

Thunderbird側の設定ですが、基本設定は上のGmailヘルプ記事を見ていただくとして、
ご希望の運用をするには「アカウント設定」 > 「サーバー設定」 > 「サーバー設定」において、
自動でメール確認やサーバーのメールを削除しない設定をする必要があるでしょう。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:59.0) Gecko/20100101 Firefox/59.0

geralde.givens さん、maji とゆ者です。

既に aidesさんと EarlgreyTeaさんから返信アドバイス出てますが
三点に分けて追記補足させていただきます。


1)

まさにそんな使い方を gmailで私は使ってます。
EarlgreyTeaさん記載の POP方式で
自分が受信ボタンを押した時にのみ
それまで受信済みなメールの次からの新規メールを受信してます。

設定については既に EarlgreyTeaさんが紹介されてるのでソチラを参照ください。
ただし gmailの POPは少々クセがあり
EarlgreyTeaさんアドバイス中リンク先google記事中の
「複数のメール クライアントでメールをダウンロードする場合」
も合わせて参考にしてください。


2)

そもそも何故そんな動きにあるのかワカリマセン。
なんとなくですが不具合なニオイがします(私見)。

geralde.givensさんお使いの Thunderbird設定が
IMAP か POP かどちらかを含めてで紹介されてる設定内容どうなってるか
お教えください。


3)
geralde.givens さんお手元の環境について
OSは Windows 8.1 だとは判りましたが
Thunderbird はどのバージョンをお使いでしょうか？
faq.php?mode=forum#f0r2


以上、よろしくッ。


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Mozilla/5.0 (X11; Linux i686; rv:59.0) Gecko/20100101 Firefox/59.0