※質問するときは、「フォーラムの利用に関するご案内」、とりわけ「質問するときは」に目を通し、OS の種類や Thunderbird のバージョン、アカウントの種類（IMAP か POP か）といった使用環境についての最低限の情報を書き添えることをお勧めします。遅ればせですが、横から失礼します。
maji さんのアドバイスとは別の観点から書きます。合わせて参考にしてください。
ご利用の環境条件等が不明なので、ひとまず現役バージョンである Thunderbird 52.* の標準的な動作を書きます。
ご承知のように、新着メッセージの通知に関する設定項目は、オプション設定の [一般] -> [新着メッセージの通知] にあります。
☑ [デスクトップ通知を表示する] [設定...]
☑ [トレイアイコンを表示する]
☑ [音を鳴らす]
の３つの設定項目がありますが、初期状態で全部にチェックがついて有効になっています。
右上にある [設定...] から開いた [デスクトップ通知] のダイアログにある [メッセージプレビュー] 、[件名] 、[送信者] の３項目も、すべてにチェックがついています。
これらの新着通知機能のうち、ご質問にあるのは [デスクトップ通知を表示する] の項目に関してかと思います。
この機能は、Thunderbird がメール（メッセージ）の受信動作をおこない、前回の受信時には存在しなかった新しいメールがサーバー上にあることを認識したとき、それらの存在を「新しいメールがあるよ」と通知するのが主目的です。
新着が１件だけのときは、その要約情報がそのまま新着通知に表示されますが、新着が複数あったときは、表示できる範囲の数だけ新着メッセージの要約情報を表示します（表示件数の限界があるということです）。
しかし、以前に受信したメールの内容を拾い上げることはいっさいなく、したがって「新着ではない下側のメールの差出人と件名が表示される」ような現象は、普通なら考えられません。
仮に、ほんの１分前に受信して未開封のまま手つかずのメッセージであっても、１分後に再度受信操作をおこなったときには、「未読」ではあっても「新着」ではなくなり、新着通知機能がデータを拾い上げる対象にはならないのが、Thunderbird の標準的な動作だからです。
この動作は、スレッドペインに一覧表示されるメッセージの並び順とは、いっさい無関係です。
---（Thunderbird のメインウィンドウの概要）------------------------------------------
┌─┬───┐
│ │ Ｔ │
│Ｆ├───┤
│ │ Ｍ │
└─┴───┘
Ｆ：フォルダペイン（Folder Pane）…… アカウントとフォルダの一覧
Ｔ：スレッドペイン（Thread Pane）…… Ｆで選択したフォルダ内のメッセージ一覧
Ｍ：メッセージペイン（Message Pane）…… Ｔで選択したメッセージの内容（本文＋添付）
-------------------------------------------------------------------------------------
それなのに、新着メッセージの通知に「新着ではない下側のメールの差出人と件名が表示される」のであれば、Thunderbird の正常な動作とは言い難いでしょう。
何らかのトラブルだとして、いまある情報だけでは原因はわかりません。「セーフモード」や「新しいプロファイル」での動作を試すなど、基本的なトラブルシューティングを進めていけば、アドオン（拡張機能）に原因があるとか、プロファイル内のデータが破損しているといった、問題解決の糸口を探り出せる可能性はあります。
「新着ではない下側のメールの差出人と件名が表示される」と仰っているのは、常に固定されたひとつのメールですか？ それとも、受信操作をおこなうたびに、新着通知に表示される「新着ではない下側のメール」の内容が変化しますか？
こういったことを含め、ご利用の環境条件（冒頭青字部分）や背景事情をもう少し具体的にご説明いただけると、他のユーザーさんから追加のアドバイスが寄せられるかもしれませんね。
それとも、「新着ではない下側のメール」と仰っているのは、１回の受信操作で受信した複数のメールのうち、
●● さんが書きました:
受信トレイのソートを送信日時で上側に新しいメールが来るようにしています
の順番でリストアップされた中の「下側のメール」という意味で仰っているのでしょうか？
もしそうなら、それは Thunderbird の仕様に基づいた動作です。
新着通知機能は、文字どおり新着メールがあった事実を通知することが主目的の機能で、新着の一例をいくつかリストアップしているだけです。そのとき受信した新着メッセージ全部の要約情報を克明に表示する機能は持っていません。
新着通知のポップアップに表示されるのは、メールサーバーにアクセスして受信を開始したとき、最初に認識した順に表示されます。[メッセージプレビュー] 、[件名] 、[送信者] が表示できるメールの数は限られており、１回の受信操作で受信したメール数が多いと、最後に受信したメール（スレッドペインのソートを送信日時で上側に新しいメールが来るようにしたとき最上部に来るメール）の要約情報が、新着通知のポップアップに表示されないことは起こります。
新着通知のポップアップの最上部に、「<アカウント名> に [N] 通の新着メッセージを受信しました」のタイトルが表示されますが、その下に表示される要約情報は新着の代表例で、そこに挙げたものをはじめ [N] 通の新着メッセージがありますよ、と通知しているのが、この機能の主眼です。
とりあえず以上です。的外れな話になっていたらすみません。
（おことわり）
現在、健康上の制約により不定期な書き込みしかできなくなっています。すぐに応答できない場面がかなり多くなりますことを、ご容赦ください。
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