まずは使用環境（OSの種類やThunderbirdのバージョン、アドオン等）をお書きください。
onion さんが書きました:
レンタルサーバの移行に伴い、メールデータ（フォルダも含め）の移行をしたいと思っております。
受信方式はIMAPで、新サーバでもこの方式を使用予定です。
「メッセージの同期」設定にて、必要なデータはローカルPCにも保持しているのですが、
これらのデータを新サーバへ一括で移行できるのでしょうか？
受信方式はIMAPで、新サーバでもこの方式を使用予定です。
「メッセージの同期」設定にて、必要なデータはローカルPCにも保持しているのですが、
これらのデータを新サーバへ一括で移行できるのでしょうか？
「一括」というのがどのような意味かは分かりかねますが、一般的に
「旧メールサーバの状態を自動でorボタン一発で新サーバへ反映」
という仕組みはありません。
例外として、業務利用等でメールサーバを自前で管理していて、旧サーバの設定を新サーバへも移行したとか、メールサーバ側のサービスで移行をサポートしているとかでない限り、「自動的に」移行するのはほぼ無理かと思います。
IMAPの場合は、メールサーバ⇔各メールソフト間でメールボックスの同期が入りますから、Thunderbird上で旧サーバのメール本体を新サーバのメールボックスに追加することで、新サーバにも今までのメールが反映されるはずです。（添付画像参照）
添付ファイル:
コメント: 緑矢印に相当する操作をThunderbird上で行う
imapmail.jpg [ 87.47 KiB | 表示数: 2416 回 ]
imapmail.jpg [ 87.47 KiB | 表示数: 2416 回 ]
ただし、今までのメールデータが（容量的に）膨大である場合は、新サーバ側のメールボックスの容量に余裕があることが条件となります。同期終了までの時間がかかることも留意点です。新サーバのメールボックスが逼迫しそうな場合は、同期するメールの取捨選択が必要となるかもしれません。
一応、メールコピー後に、同期が正常に行われているかどうかメールサーバ側の状態も確認しておくとよいでしょう。